Объем многогранника. Призма. Пирамида.

Инструкционная карта № 36

Тақырыбы/ Тема: Решение задач по теме: «Объем многогранников».

Мақсаты/ Цель:

1. Проверить теоретическую часть знаний учащихся по нахождению объема призмы, пирамиды и усеченной пирамиды .

2. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно планировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

Теоретический материал:

Объем призмы Формула нахождения объема призмы выглядит следующим образом: V = Sh, где

V - объем призмы  S - площадь основания призмы   h - высота призмы

Задача 1

Дано: правильная треугольная призма, а=4см, в=5см, с=7см, H=h, h-большая высота основания.

Найти: V.

Решение.

V= S_осн.Н

По формуле Герона S_осн.=v 8(8-4)(8-5)(8-7) = 4v6 (см²).

Наибольшая высота треугольника является та, которая проведена к наименьшей стороне. Используем метод площадей.

ah, 

Ответ: V= 48см³.

Задача 2

Сделать соответствующие измерения и определить, из какого материала изготовлен брусок.

Дано: m=21,3 г, a=4см, в=2,5 см, с=0,8 см.

Найти: .

Решение. 

V=abc

=2,7 (г./см³)

Используем таблица плотностей. Приложение 2

Ответ: брусок изготовлен из алюминия.

Задача 3

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. 

Решение 

V=S·h 1.S=(а· b):2 S=(3· 5):2=15/2=7,5 2. V=S·h 30=7,5·h h=30:7,5= 4(ед.)

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

V=S·h 1. S=а·b·sin A S=1·1·sin 60º= 1·1·√3/2=√3/2

2. h = 2·sin 60º= 2·√3/2=√3

3. V=S·h V=√3/2·√3=3/2= 1,5( куб.ед.)

Задача 4. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.

V=1/3S_осн*Н S_осн=а²*/4 ОС=R=а/

S

Из SOC, О=90⁰ SО²= SС²-ОС²=а²-а²/3=2а²/3

а SO=а V=1/3а² /4*а / =а³ /12

Задача 5. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и в, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Найдите объем пирамиды.

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ – усеченная

C₁

М₁

О₁

пирамида, АВ=ВС=СД=АД=а,

С

D₁

А₁

А₁В₁=В₁С₁=С₁Д₁=А₁Д₁=в,

М

О

В

М₁МК=

А

М₂

D

Найти: V

Решение:

V=1/3Н(Q₁+₁Q₂+Q₂) Q₁=S_н=а² Q₂=S_в=в² Н=ОО₁=М₁К

Рассм. ММ₁О₁О М₁К=ОО₁ М₁О₁=КО=1/2в МО=1/2а, тогда МК=МО-КО=1/2(а-в)

Рассм. ММ₁К М₁КМ=90⁰ М₁К=МК*tg=1/2(а-в)tg=Н

V=1/3*1/3(а-в)tg(а²+ а²в²+в²)=1/6(а-в)tg(a²+aв+в²)=1/6(а³-в³)tg

Задача 6. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45⁰. Найдите объем пирамиды.

В

М

S

F

Дано: SАВС Д ЕF – пирамида,

АВ=ВС=ДС=EД=EF=FA=а

D

О

А

C

SMO=45⁰

Е

Найти: V

Решение:

V=1/3S_осн*Н МО=r АВ=а рассм. SОМ SOM=90⁰

МО=а/6=r SO=MO*tg45⁰=а/2

S_осн=6а² /4=3/2а² V=1/3*3/2а² *а /2=3а³/4

Практическая часть:

1 вариант

1. В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9. Найдите объем призмы, если ее высота в раз больше стороны основания.

2. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной, равной 1. Диагональ параллелепипеда . Найти объем.

3. Высота правильной четырехугольной пирамиды 12, а высота ее боковой грани 15. Найдите объем пирамиды.

4. Стороны основания правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2. Высота усеченной пирамиды . Найти ее объем.

2 вариант

1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3. Боковая грань ее наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите объем пирамиды.

2. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину 2. Найдите объем призмы.

3. В прямом параллелепипеде стороны основания а=3 и в=6, образуют угол 30⁰. Боковая поверхность 24. Найдите его объем.

4. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 6 и 3. Высота усеченной пирамиды равна 9. Найти ее объем.

3 вариант

1. Площадь поверхности куба 150. Найдите его объем.

2. Высота правильной треугольной призмы равна 6. Сторона треугольника основания призмы равна 4. Найти объем призмы.

3. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 18 и 24. Каждая из боковых ребер равна 25. Найти объем пирамиды.

4. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 2 и 4. Высота усеченной пирамиды равна 6. Найти ее объем.

4 вариант

1. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, сторона основания 6. Найдите объем этой пирамиды.

2. Объем треугольной призмы равен 96. Стороны основания равны 6, 8, 10. Найдите высоту этой призмы.

3. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 1 и 3. Высота усеченной пирамиды равна 4. Найти ее объем.

4. Найдите объем куба по его диагонали d=3.

Контрольные вопросы:

1. Заполните кроссворд , ответив на вопрос или закончив предложение

По горизонтали
3. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины
5. Кто установил, чему равен объем пирамиды
7. Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра)
9. Точка пирамиды, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания
10. Как называется пирамида, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания
12. Что находится в основании пирамиды
14. фигура, являющаяся боковой гранью пирамиды
16. В правильной пирамиде все боковые ребра … 

По вертикали
1. Выпуклый многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину 
2. Как называются рёбра, соединяющие боковые грани пирамиды 
4. Треугольная пирамида в которой любая из граней может быть принята за основание пирамиды 
6. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды 
8. Общие стороны боковых граней пирамиды 
10. Как называется пирамида, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию 
11. Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания 
13. … пирамида - многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию 
15. Треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды  

Приложение 3

Заполните кроссворд, ответив на вопрос или закончив предложение:

2. Заполните кроссворд , ответив на вопрос или закончив предложение и назови ключевое слово:

Приложение 3

Заполните кроссворд, ответив на вопрос или закончив предложение:

1. Высота призмы – это … между основаниями.

2. Как называется призма, в основании которой лежит параллелограмм?

3. Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется …

многоугольник, называется…

4. Диагональ – это …, соединяющий точки верхнего и нижнего оснований, не лежащие в одной боковой грани.

оснований, не лежащие в одной боковой грани.

5. Призма называется …, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

основаниям.

6. Равные многоугольники призмы, расположенные в параллельных плоскостях, называются …

плоскостях, называются… .

е

р

п

е

н

д

и

к

у

л

я

р