"Объем пирамиды"

Класс: 11

Предмет: геометрия

Тема урока: Объем пирамиды

Цель урока:

1. формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной окружности;

2. формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр описанной около основания окружности

Задачи урока:

Образовательные:

продолжить формирование знаний о нахождении объема пирамиды и усеченной пирамиды; систематизировать и обобщить знания по применению формул в практической деятельности;

Воспитательные:

воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль;

воспитание умения участвовать в диалоге, самостоятельности.

Развивающие:

развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности

Планируемые результаты:

• Совершенствование навыков решения задач на вычисление объема пирамиды, усеченной пирамиды;

• развитие навыков применения формул стереометрии для решения задач; навыков вычислений и тождественных преобразований;

• аргументированное пояснение этапов решения

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

УМК: Учебник: Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.:Просвещение,2014..

Ход урока.

1. Организационный момент.

• Приветствие

• Создание доброжелательной атмосферы

• Проверка готовности учащихся к уроку, психологического настроя учеников

• Фиксирование отсутствующих

1. Проверка домашнего задания.

1. Проверить наличие письменной домашней работы у всех учащихся класса.

2. Устно проверить правильность решения задач.

3. Ответить на вопросы учащихся по домашней работе, разобрать нерешенные задачи.

1. Актуализация знаний.

Устная работа в форме теста, с проверкой у доски.

ТЕСТ:

Таблица ответов:

1. Систематизация изученного материала

Опорные задачи:

1. Если боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

2. Если боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Доказательство:

1) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО = ... (равны по катету и гипотенузе или по катету и острому углу).

2) Тогда ОА = ОВ = ОС = ..., т.е. точка О - центр окружности, описанной около основания.

3. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

4. Если равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Доказательство:

1) ΔМКО = ΔМЕО = ΔMFO = ... (по катету и острому углу).

2) OK = OE = OF =..., т.е. точка О - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

1. Контроль и коррекция знаний

Решение задач по готовым чертежам, в которых проверяется усвоение выводов, сделанных в опорных задачах.

№1

Дано: ABCD – пирамида, ΔАВС – прямоугольный, ∠С = 90°, АС = 6, ВС = 8, ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°.

Найти: V_пир.

Решение:

1) Так как ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

ΔАВС – прямоугольный, значит, точка О – середина

гипотенузы, т.е. АО = ОС = ОВ.

2) ΔАВС, ∠С = 90°, тогда по теореме Пифагора: =  АО = 5.

3) ΔAOD: ∠О = 90°, ∠D = ∠А = 45°, DO = OA = 5 – высота пирамиды

4) S_∆ABC= AC∙BC =

5) V_пир.=

Ответ: 40.

№2

Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС – равнобедренный, АВ = АС = 10, ВС = 12, AD = BD = CD = 15.

Найти: V_пир.

Решение:

1) Так как AD = BD = CD = 15, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, значит, R = AO.

2) S_∆ABC = = R =

Площадь найдем по формуле Герона: S_∆ = , где

Р = 10+10+12 = 32; S_∆ABC= 48 = .

3) Из ∆AOD по теореме Пифагора найдем OD = = .

4) V_пир.= .

  Ответ: 20 .

1. Подведение итогов урока. Рефлексия.

1. Что нового вы узнали на уроке ?

2. Достигнута ли цель урока?

3. Оцените свою деятельности и деятельности всего класса.

4. Остались ли вы довольны своей работой на уроке?

5. С каким чувством вы уходите с урока…

1. Домашнее задание

Домашняя работа будет собой представлять проверочную работу по вариантам.

I вариант

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

Приложение 1.

ТЕСТ:

Приложение 2.

Проверочную домашняя работу (по вариантам0.

I вариант

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

_______________________________________________________________________________

Проверочную домашняя работу (по вариантам0.

I вариант

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

_________________________________________________________________________________

Проверочную домашняя работу (по вариантам0.

I вариант

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.