Объемы многогранников

Объемы многогранников

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке,

все науки стремятся к математике.

Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.

Пойа Д.

Объем

Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.

Площадь

Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости , которую занимает многоугольник.

В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.

Площадь

За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

1 км 2 , 1 м 2 , 1 дм 2 , 1 см 2 , 1 мм 2 .

Объем

За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.

Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см 3.

1 м 3 , 1 дм 3 , 1 см 3 , 1 мм 3 и т.д.

1

1

1

1

1

Свойства площадей :

Свойства объемов:

1. Равные тела имеют равные объемы

1 . Равные многоугольники имеют равные площади

V 2

S 2

V 1

S 1

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

2. Если тело составлено из нескольких тел , то его объем равен сумме объемов этих тел.

S=S 1 +S 2 +S 3+ S 4

V=V 1 +V 2

V2

F 4

V1

F 2

F 1

F 3

Объем

Площадь

Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади

Равновеликими называются тела, объемы которых равны

V F =V F1

S F =S F1

F 1

F 2

F 1

F 2

Объем прямоугольного параллелепипеда

а-длина

b-ширина

с- высота

V=a . b . c

S осн = a . b

V=S осн . H

в

с

а

Объем куба

V=a 3

V=S осн . H

S осн = a 2

а

а

а

Объем прямой призмы

V=S осн . H

Объем пирамиды

Задача №1

Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?

+ + =

a 1

a 2

a 3

?

Решение:

V F =V F 1 +V F 2 +V F 3

V F 1 =3 3 =27 (см 3 )

V F 2 =4 3 =64 (см 3 )

V F 3 =5 3 =125 (см 3 )

V F =27+64 +125=216 (см 3 )

V F =а 3

а 3 =216 (см 3 )

а= 6 (см)

Ответ: ребро куба равно 6 см.

Задача №2

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания 13 см.

Решение:

V= 1 Sосн . H

3

ABCD- квадрат

S ABCD =a 2

S ABCD= 13 2 =169

V= 1 169 . 12 =676 (см 3 )

3

Ответ : Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 676 см 3

Успеха в изучении материала!!!