Обобщающий урок по теме "Прогрессии"

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Запись на доске

1) Организационный момент (2')

• Тема сегодняшнего урока – «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Тема вам знакомая, вами пройденная. Но сегодня мы её рассмотрим в несколько ином аспекте.

• Обратите, пожалуйста, внимание на фразы, записанные на доске. Несколько лет назад Международная комиссия при ЮНЕСКО выработала всемирный доклад «О воспитании в XXI веке». Представители всех культур мира установили четыре главных принципа образования будущего:

• Какой из этих принципов на ваш взгляд самый важный?

• А вот члены этой комиссии посчитали, что четвёртый принцип – самый главный. Как вы думаете, почему?

- Попробуем ответить на этот вопрос в конце урока.

Читают, переводят.

Называют, обсуждают.

Возможно, что затрудняются ответить.

learning to be;

learning to know;

learning to do;

learning to live together.

(научиться жить;

научиться знать;

научиться делать;

научиться жить вместе.)

2) Повторение теории (5’)

• Вернемся к теме нашего урока и начнём с того, что повторим основные понятия, формулы, необходимые для этого. Здесь есть таблица-подсказка, можете ею воспользоваться, если что-то подзабыли.

1. Каждый член арифметической прогрессии увеличили на 3. Является ли полученная таким образом последовательность арифметической прогрессией? Почему?

1. Каждый член геометрической прогрессии разделили на 3. Является ли полученная таким образом последовательность геометрической прогрессией? Почему?

2. Найдите 5-й член арифметической прогрессии (а_n), если

а) а₄ = 2, d = -1; б) а₁ = 6, d = -4.

Что нужно знать для нахождения неизвестного элемента?

1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₈ = 4, b₇ = 1.

2. Найдите b₄, если b₁ = , q = 5.

3. Найдите сумму 6-ти первых членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = -7.

Что ещё нужно знать?

d = 3.

1. Найти сумму 5-ти первых членов геометрической прогрессии, если q = 2, b₁ = -10.

Достаточно ли этих данных для того, чтобы выполнить задание?

- Да, является, так как если мы будем находить разность между вторым и первым, третьим и вторым, четвертым и третьим членами, то она будет одинаковой (причем, равной разности первоначальной прогрессии).

- Да, так как знаменатель останется прежним.

3) а) а₅ = а₄ + d, а₅ =2+(-1) = 1; б) а₅ = а₁ + d(n – 1), а₅ = 6 + (-4)4 = -10.

4) q = , q = , q = 4.

5) b_n = b₁q^{n – 1}, b₄ = b₁q³, b₄ = 5.

6) Невозможно, не хватает данных.

а_n или d.

7) Да, S _n =, S₅ = -310.

Таблица.

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену,

сложенному с одним и тем же числом,

умноженному на одно и то же не равное нулю число,

называется

арифметической

прогрессией.

геометрической прогрессией.

То есть

арифметическая прогрессия -

геометрическая прогрессия -

это такая последовательность, в которой

а_{n + 1} = a_n + d.

b_{n + 1} = b_nq (q  0)

d – разность арифметической прогрессии,

d = а_{n + 1} - a_n

q – знаменатель геометрической прогрессии,

q =

Формула n-го члена прогрессии

a_n = a₁ + d(n – 1)

b_n = b₁q^{n – 1}

Формула суммы n первых членов прогрессии

S _n =

S _n =

S _n =

S _n =

(q  1)

S =

3) Решение задач (15’)

• Молодцы. Мы повторили основные факты, необходимые вам для следующей работы.

У вас у каждого на столах лежат 3 группы заданий.

Первая группа () – это задания на нахождение неизвестных членов прогрессии, суммы с использованием известных вам формул. Это наиболее простые задания.

Вторая группа () – к ней относятся задания на применение понятий арифметической и геометрической прогрессий в практической деятельности.

Третья группа () – задание, требующее творческого подхода. Для его решения потребуются также некоторые знания из геометрии.

• Выберете каждый ту группу задач, которую вы считаете для себя наиболее подходящей.

Если учащийся выбирает тот уровень, который учитель считает для него слишком простым, то учитель рекомендует выбрать группу задач более высокого уровня сложности.

• Каждый из вас может работать индивидуально; при желании вы можете объединяться в пары, тройки.

• Если возникнут затруднения при решении задач, то вы можете обратиться за консультацией учителя с помощью поднятой руки.

Учитель подходит к каждой группе, помогает при необходимости.

У первой группы проверяет по ходу решения, требует сформулировать, что было искомым и что было дано (в общем виде).

У второй группы проверяет первую задачу.

Приглашает двух-трёх учеников оформить решение второй задачи и просит сформулировать идею её решения.

Учащиеся делятся на 3 группы. Каждая группа занимает отведённое ей в классе место.

Учащиеся приступают к выполнению заданий (см. после конспекта).

4) Защита решений (15’)

- Определите, пожалуйста, способ, с помощью которого вы решили эту задачу?

- Может, кто-нибудь решил эту задачу иным способом?

Обращаясь ко всей второй группе:

• Скажите, трудно ли было выполнить такое задание? В чём состояла трудность?

Если учащиеся не формулируют свои проблемы, то учитель сам пытается её определить (выяснив затруднения учащихся по ходу решения задачи): «А мне показалось, что сложности у вас возникли в . . .».

-Теперь о своей задаче расскажут ученики третьей группы.

- Скажите, трудно ли было выполнить такое задание? В чём именно состояла трудность?

Два-три ученика из второй группы у доски защищают задачу о купце и незнакомце. Читают задачу и, не пересказывая решения, формулируют, в чём состояло её решение: что нужно было найти, что при этом было известно.

-Например, заметили, что величины выплаты составляют геометрическую прогрессию и, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, нашли, что сделка купцу не выгодна.

К доске оформлять решение задачи идут ученики из третьей группы.

Читают задачу, поясняя данные по чертежу. Рассказывают, что решение задачи свелось к нахождению суммы бесконечной геометрической прогрессии при 1. Ориентируясь на формулу S = , объясняют, чем являлось в данной задаче b₁ и как нашли знаменатель q.

Чертёж и решение задачи группы 3.

5) Рефлексия (1’)

Обращаясь к классу:

• Итак, вы рассмотрели несколько задач. Как вы думаете, для чего нужны такого рода задания? В каких жизненных ситуациях могут найти применение данные вопросы математики?

- И возвращаясь вновь к принципам образования будущего, скажите, почему же главный принцип – жить вместе? Действительно самое важное – это научиться диалогу, сотрудничеству. Пусть каждый из вас подумает, как мир, взаимопонимание, солидарность можно утвердить в своем классе, доме.

Спасибо.

Мы сегодня работали в группах. Что-то делать совместно с кем-то всегда лучше, чем одному. И вообще, жить, работать надо всем вместе, и этому учиться.

6) Д/з, выставление отметок (2’)

Домашнее задание: сб., стр. 101, № 67 (1), 68 (1). Учебник, № 423.

Сегодня отметки за урок получили: . . .

1) Найдите:

а) а₁₀, если а₁ = 2, d = 3; в) b₅, если b₁ = 0,5, q = 2; д) а₁, если а₂₆ = 51, d = 2;

б) а₂₅, если а₁ = -3, d = 2; г) b₉, если b₁ = , q = ; е) b₁, если b₆ = 128, q = -2.

2) Задайте формулой n-го члена геометрическую прогрессию: 0,16; 0,4; . . .

3) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии, зная, что: а) а₁ = 13, а_n = 67, n = 25; б) а₁ = -248, d = 4, n = 125.

4) Найдите сумму первых ста натуральных чисел.

5) Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии, зная, что а) b₁ = 3, b_n = 192, q = 2; б) b₁ = -2, q = 3, n = 6.

1) Школьник решил сделать садовую лестницу с таким расчётом, чтобы нижняя ступень имела длину 500 мм, а каждая из следующих 12 ступеней была на 18 мм короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступень лестницы?

2) Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1 коп., во второй день за 100 000 руб. – 2 коп. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём».

Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Кто же в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Из точки В одной из сторон угла ВАС, равного 45⁰, В

на другую его сторону опущен перпендикуляр ВС.

Из точки С на сторону АВ опущен перпендикуляр

СD. Из точки D на сторону АС опущен перпенди- D

куляр DE и т. д. до бесконечности (см. рисунок). F

Доказать, что длины этих перпендикуляров

составляют геометрическую прогрессию, и найти

её сумму при см. А G Е С