Урок путешествие по теме "Прогрессии" 9класс

Урок –путешествие в 9 классе

Цель: Выяснить уровень знаний учащихся по темам: «Последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». Закрепить умение выполнять арифметические действия над различными числами. Развивать внимание и логическое мышление, математическую речь. Развивать оперативные умения и навыки. Развивать навыки самоконтроля и самооценки. Повышать интерес учащихся к урокам математики. Воспитывать чувства товарищества и взаимовыручки

Оформление: карта маршрута с указанием станций, картинки, карточки.

Класс разбивается на 5 групп по 5человек.В группе обязательно ученики с разными способностями. Каждой группе дается тема.

На данном уроке повторяем 5 тем:

1.Последовательности.

2.Арифметическая прогрессия.

3.Сумма п-первых членов арифметической прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия.

5. Сумма п-первых членов геометрической прогрессии.

Ученикам дается название тем за неделю до урока и один из группы готовится выступать по данной теме, используя дополнительную литературу. В каждой группе назначается проводник из сильных ребят.

У каждого из них проездной билет.(проводник заполняет)

Для каждого ученика заготовлен конверт заданий, которые он решает в течении урока. При решении заданий помочь ребятам может только проводник, он же и оценивает работу. На решения отводится 5-6 минут. В течении урока 5 остановок и 5 сообщений. И каждый ученик получает 5 оценок по каждой теме. И затем учителю уже видно по проездному билету, у кого по какой теме есть пробелы в знаниях.

1.Вступительное слово учителя.

Сегодня, ребята , мы с вами проводим немного необычный урок, а именно урок –путешествие в своих вагончиках и сделаем несколько остановок на станциях:

1. Последовательности.

2.Арифметическая прогрессия.

3.Сумма п-первых членов арифметической прогрессии.

4. Геометрическая прогрессия.

5. Сумма п-первых членов геометрической прогрессии.

В пути вам будут помогать ваши проводники, и они же оценят ваши знания. Мы начинаем свое путешествие: «Счастливого пути!»

1.Остановка «Последовательности».

Сообщение на 1-2 минуты делает ученик 1группы.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность, есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1)1,2,3,4,5,…-последовательность натуральных чисел

2)2,4,6,8,10…-четных чисел

3)1,3,5,7,9…-нечетных чисел

4)1,4,9,16…-квадратов натуральных чисел

5)2,3,5,7,11…-простых чисел

6)1,1/2,1/3,1/4…-чисел, обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей -монотонно возрастающие, последняя- убывающая. Идея предела последовательности восходит к 5-4 в.в. до н.э. Прогрессии частные случаи числовых последовательностей. Последовательность -одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п-ставится в соответствие элемент х_п некоторого множества.

Существуют такие способы задания последовательностей:

1)аналитический -самый простой способ-с помощью формулы, выражающей п-й член последовательности х_п через его номер п.

2)рекуррентный(возвращающийся), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие.

Задание(карточка №1)

Найти первые пять членов последовательности, заданной формулой п-го члена.

(1 уровень) у_п=п/п+1

(2 уровень ) х_п=3п-1

2.Остановка «Арифметическая прогрессия».

Сообщение на 1-2 минуты делает ученик 2 группы.

Арифметической прогрессией называется последовательность (а_п), у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное число d-разность арифметической прогрессии. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов а_п=а_п+1+а_п-1/2. Это отражено в названии последовательности.

Формула п-го члена а_п=а₁+ d(п-1).

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями.

Задание(карточка №2)

1. уровень)

Найти разность арифметической прогрессии, если в₁=2, в₂=92

1. уровень)

Последовательность (с_п)-арифметическая прогрессия. Найти с₅, если с₁=20, d=3.

3.Остановка «Сумма п-первых членов арифметической прогрессии»

Сообщение на 1-2 минуты делает ученик 3 группы.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как ,например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Задачи на арифметические прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. При решении задач египтяне, видимо, пользовались правилом, которое можно записать в современной символике так: а= S/n –(n-1)d/2 аналогично S=a+b/2*n.

С этой формулой связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно 1+2+3+4+…+40».Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820.

1, 2, 3, …,20

+

40,39,…21

41,41,….41

Задание(карточка №3)

(1 уровень)

Арифметическая прогрессия задана формулой а_п=3п+2. Найти сумму 40 первых её членов.

(2 уровень)

Найти сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (в_п), если в₁=6, в₉=22.

4.Остановка «Геометрическая прогрессия».

Сообщение на 1-2 минуты делает ученик 4 группы.

Г еометрической прогрессией называется последовательность (в_п), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число q не = 0-знаменатель прогрессии. Геометрическая прогрессия-это последовательность, заданная по правилу : в₁ и q даны, в_п+1=в_п при п или =1. Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго равен среднему геометрическому последующего и предыдущего членов. Этот факт отражается в названии рассматриваемой последовательности: геометрическая прогрессия. Справедлива формула в_п=в₁* q^п-1. При q=1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией. Если q1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах и получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии. Одна из наиболее известных легенд-легенда об изобретателе шахмат.

Задание(карточка №4)

(1 уровень)

Найти первый член геометрической прогрессии (в_п),если в₈=384, q=2.

(2 уровень)

Найти пятый член геометрической прогрессии (в_п),если в₁=6, q=2.

5.Остановка «Сумма п-членов геометрической прогрессии».

Сообщение на 1-2 минуты делает ученик 5 группы.

В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму п-членов геометрической прогрессии,зная первый её член и знаменатель. Из одной клинописной таблички можно заключить, что наблюдая Луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой, более поздней табличке речь идет о суммировании геометрической прогрессии:1+2+2²+…2⁹.

Решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке, наводят на мысль, что автор задачи пользовался формулой S_n=2^п+(2^п-1), однако о том, как он дошел до неё, мы ничего пока не знаем. Одна из самых старых задач-задача о зернах на шахматной доске. Другой знаменитой задачей, является задача,известная еще в Древнем Египте, появившаяся в русском фольклоре:

«Шли 7 старцев, у каждого старца по семи костылей. На каждом костыле по семи сучков. На каждом сучке по семи кошелей. В каждом кошеле по семи пирогов, а в каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?»(старцев,костылей,сучков…)

Общая формула S_n =в₁(q^п-1)/(q-1).

Примером геометрической прогрессии является исчисление «сложных процентов», изменение массы радиоактивного вещества со временем.

З адание(карточка №5)

Найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии (в_п), если

(1 уровень)

в₃=16/9, q=2/3.

(2 уровень)

в₁=4, q=2.

В заключении –чтение «Легенды о шахматной доске» по книге Л.И.Перехмана «Живая математика».

Подводятся итоги ( в баллах) по всем заданиям, определяется вагон –победитель.