Обобщение темы "Параллелограмм"

МОУ гимназия имени А. Л. Кекина

Презентация на тему:

«Параллелограмм»

Выполнила: Клипачёва Полина и

Клипачёва Светлана

Ученица 9 класса «Г»

Учитель: И. А. Иванченко

Ростов 2019

Параллелограмм

Цель:

1) Обобщить тему «Параллелограм»

Задачи:

1)Узнать историю возникновения понятия «параллелограмм».

2) Познакомиться с понятием «Параллелограмм».

3)Изучить свойства и виды параллелограмма.

4)Показать применение свойств и признаков параллелограмма при решении задач.

Определение

Параллелогра́мм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Параллелограммом являются:

• Ромб

-Прямоугольник

-Квадрат

История создания

Термин "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ" греческого происхождения и был введен Евклидом. Евклидом доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам, но Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Свойства параллелограмма

1)В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны.

Дано :

АВСD – параллелограмм

Доказать :

AB = CD , BC = AD

∠ A = ∠C , ∠B = ∠D

1. Построим диагональ BD

2. Треугольники ΔABD = ΔCBD равны :

1) BD - общая ; 2) ∠ADB = ∠CBD ; 3) ∠BDC = ∠DBA

3. Так как треугольники равны, то равны все соответственные элементы.

Свойства параллелограмма

2)В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Дано :

АВСD – параллелограмм

Доказать :

AO = OC , BO = OD

1. Треугольники ΔAOB = ΔCOD равны :

1) AB = CD ; 2) ∠ABD = ∠CDB 3)∠ACD = ∠BAC

2. Так как треугольники равны, то равны все соответственные элементы.

Признаки параллелограмма

1)Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник -параллелограмм .

Дано:

ABCD – четырехугольник

AB = CD , BC = AD

Доказать :

АВСD – параллелограмм

Доказательство:

Рассмотрим ΔABС и ΔADC :

1)AC – общая ; 2) AB = CD ; 3) BC = AD (по условию) ⇒ ΔABС =ΔADC

(по 3 пр. равенства Δ)

∠ 1 = ∠2 ( н/л при прямых BC и AD и секущей AC ) ⇒ BC ∥ AD

∠ 3= ∠4 ( н/л при прямых CD и AB и секущей AC ) ⇒ CD ∥ AB

То BC ∥ AD ; CD ∥ AB ⇒ АВСD – параллелограмм

Признаки параллелограмма

2) Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник- параллелограмм

Дано:

ABCD – четырехугольник

AC ∩ BD = O

BO = OD , AO = OC

Доказать :

АВСD – параллелограмм

Доказательство:

Рассмотрим ΔBOC и ΔAOD :

1)BO = OD (по условию) ; 2) AO = OC (по условию); 3) ∠BOC и ∠AOD (вертик.)

⇒ ΔBOC = ΔAOD (по 1-му признаку равенства Δ)

∠ 1 = ∠2 ( н/л при прямых BC и AD и секущей AC ) ⇒ BC ∥ AD

Рассмотрим ΔAOB и ΔCOD

1) ΔCOD = ΔBOA (вертик.) ; 2) ) AO = OC (по условию); 3) BO = OD (по условию)

⇒ ΔAOB = ΔCOD (по 1-му признаку равенства Δ)

∠ 3= ∠4 ( н/л при прямых CD и AB и секущей AC ) ⇒ CD ∥ AB

То BC ∥ AD ; CD ∥ AB ⇒АВСD – параллелограмм

Признаки параллелограмма

3)Если в четырехугольнике одна пара сторон равна и параллельна, то этот четырехугольник- параллелограмм

Дано:

ABCD – четырехугольник

AB = CD, AB ∥ CD

Доказать :

АВСD – параллелограмм

Доказательство:

Рассмотрим ΔADB и ΔCDB :

• BD - общая ; 2) AB = CD (по условию) ; 3) ∠1 = ∠2 ( н/л при прямых CD и AB и секущей BD)

⇒ ΔADB = ΔCDB (по 1 признаку равенства Δ)

∠ 3= ∠4 ( н/л при прямых BC и AD и секущей BD) ⇒ BC∥ AD

⇒ АВСD – параллелограмм

Площади параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S - площадь параллелограмма

a - длина основания

h - длина высоты

Площади параллелограмма

2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними (рис. 2), то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

Площади параллелограмма

3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними (рис. 3), то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме 2-х его смежных сторон (a, b).

P - периметр параллелограмм

a - длина 1-ой стороны параллелограмма

b - длина 2-ой стороны параллелограмма

Параллелограмм в жизни

Решение задач

1 Задача

АВСD- параллелограмм

∠ А= 84°

Найти: ∠С, ∠В, ∠D

Решение задач

2 Задача

Дано: АВСD- параллелограмм

∠ A + ∠B + ∠C = 237°

Найти: ∠В

Решение задач

3 Задача

Дано: АВСD- параллелограмм

∠ САD=16 °,∠ACD=37°

Найти: ∠А, ∠В, ∠ C,∠D.

Решение задач

4 Задача

Высота  ромба  делит его сторону  на отрезки AH= 21 и HD=14. Найдите площадь ромба.

Решение задач

5 Задача

Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD .

Решение задач

6 Задача

Периметр параллелограмма АВСD равен 50,

∠ С = 30°,а перпендикуляр к стороне АD= 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Дано:

АBCD – параллелограмм

Р ABCD= 50 см.

∠ С = 30°

Найти :

АB, ВС, СD, АD.

Решение задач

7 Задача

Пе­ри­метр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

Решение задач

8 Задача

Дано: АВСD- параллелограмм

Биссектриса ∠В пересекает сторону АD

АМ=8 см, МD= 4 см

Найти: P ABCD

Решение задач

9 Задача

Дано: АВСD- параллелограмм

P ABCD =32см

AB:CD= 3:1

Найти наибольшую

сторону т.е. АВ

Решение задач

10 Задача

Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.

Решение

1 Задача

1)ABCD - параллелограмм ⇒ ∠А = ∠С и ∠В = ∠D

(по свойству параллелограмма)

2) ∠А = ∠С = 84°

3) ∠А + ∠В = 180° (односторонние) ⇒ ∠В = 180°- 84°= =96° ⇒ ∠В = ∠D = 96°

Ответ: ∠С = 84°; ∠В = 96°; ∠D = 96°

Решение

2 Задача

1)Т.к. ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° ⇒

∠ D = 360°- 237°= 123°

2) ∠D = ∠B = 123°

Ответ: ∠В = 123°

Решение

3 Задача

1)ABCD - параллелограмм ⇒ ∠А = ∠С и ∠В = ∠D

(по свойству параллелограмма)

2)Рассмотрим треугольник ACD:

∠ АCD + ∠СDA + ∠DAC = 180° ⇒ ∠СDA = 180°- (37°+ 16°) = 127° ⇒ ∠В = ∠D = 127°

3) ∠А + ∠В – односторонние ⇒ ∠А = 180°- 127°= 53°

∠ А = ∠С = 53°

Ответ: ∠А =53°; ∠В = 127° ∠С = 53°; ∠D = 127°

Решение

4 Задача

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника  найдём 

BH=√AB²-AH²= √AD²- AH²= √ (AH+HD) ²- AH²= √1225-441= 28

Площадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние основания на высоту:

S= AD* BH= 35*28= 980

Ответ: 980.

Решение

5 Задача

Диагональ па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных треугольника, по­это­му SABD= 6. Медиана треугольника делит его на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, поэтому S ADE = ½ S ACD .

Следовательно,

S EBCD =S ABCD - S ADE =12-3=9

Ответ: 9

Решение

6 Задача

Проведём высоту BH.

Треугольник AHB – прямоугольный. Угол A равен углу C и равен 30 0 (по свойству о противоположных углах в параллелограмме). 2BH=AB (по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 0 в прямоугольном треугольнике). Значит AB = 13 см.

AB = CD, BC = AD (по свойству противоположных сторон в параллелограмме) Значит AB=CD=13см. Так как периметр параллелограмма равен 50 см, то BC=AD=(50 – 26):2=12см.

Ответ: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

Решение

7 Задача

Решение: Обозначим CD за x, тогда АВ- 3x

Можем составить уравнение:

P= 2*3x+ 2*x

32= 6x+2x

32=8x

x=4

То сторона АВ= 3*4=12 cм

Ответ: 12см

Решение

8 Задача

AD= AM+MD= 8+4 =12

AD ∥ BC и AD=BC ⇒ BC=12 см

∠ MBC= ∠BMA (т.к. н/л при прямых BC и AD и секущей BM)

Δ ABM – р/б ⇒ AM= AB =CD= 8см

P ABCD = 12+12+8+8=40

Ответ: P ABCD =40 см

Решение

9 Задача

Проведём вы­со­ту в ромбе и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му AB= P/4 =116/4= 29  Найдём BH из пря­мо­уголь­но­го треугольника ABH:

BH= AB*sin30= 29 * ½= 14,5

Найдём пло­щадь ромба как про­из­ве­де­ние стороны на высоту:

S= AD*BH= 29* 14,5= 420,5

Ответ: 420,5.

Решение

10 Задача

Р ABCD = 2*(AB+AD), поэтому AB+ AD= ½P ABCD =1/2 *10= 5 см

PABCD=AB+AD+BD=8см

Откуда BD=8 см –( AB+AD)= 8см – 5 см = 3см

Ответ: 3 см

Источники

• http:// worksbase.ru/matematika/formuly/1031-parallelogramm.html
• http:// www.webmath.ru/poleznoe/formules13.php
• http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/formuly-perimetra/perimetr-parallelogramma /