Олимпиада по математике для 10-11 класса

ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ КУЗНИЦА 2025

1. Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 19 г. Девять из них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых.
Найдите вес золотой гирьки.

Решение .
Общий вес гирек 1 + 2 + ... + 19 = 190г.
Вес железных гирек не больше, чем 19 + 18 + ... + 11 = 135г,
значит, вес бронзовых гирек не больше, чем 135 – 90 = 45г.
Но при этом вес Б = 1 + 2 + ... + 9 = 45г, т.е. Б = 45г и, значит, вес Ж = 45 + 90 = 135г.
Следовательно, вес золотой гирьки 190 – 135 – 45 = 10г.

2. Владелец дачного участка в с.Комаровка договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

1. Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см. , а глубину 380 м. , надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25 х 12 х 6,5 см.

Решение:Длина окружности, диаметр которой меньше диаметра колодца на удвоенную ширину кирпича, равна πd ≈ 351 см . Длину окружности делим на длину кирпича, получаем 351 : 25 ≈ 14 кирпичей уложено в один ряд. Таких рядов будет 380 : 6,5 ≈ 59. Следовательно, потребуется кирпича 14 ∙ 59 = 826 штук.

Ответ: 826 кирпичей.

1. «В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн. рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?»

Решение:

Пусть сумма кредита равна S, тогда

Поскольку долг стал равен нулю после второй выплаты, то можно составить уравнение:

1,15*(1,15 *S-1,587) -1,587=0

1,152S- 1,15*1,587=1,587

S=2,58 (млн. р.)

Ответ: 2,58 млн. Р

5.Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома . В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?