Олимпиадные задания для 9 класса

Всероссийская олимпиада школьников по математике

Школьный этап

9 класс

1. Числа от 1 до 20 разбили на пары, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее количество из этих 10 сумм может делиться на 11?

1. Петя и три его одноклассника стартовали одновременно в забеге на 100 метров, и Петя пришёл первым. Через 12 секунд после начала забега никто ещё не финишировал, и все его участники в сумме пробежали 288 метров. А когда Петя закончил бег, остальным трём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме 40 метров. Сколько метров пробежал Петя за 12 секунд? (Известно, что скорость каждого была постоянной на протяжении всей дистанции.)

1. На доске написаны четыре ненулевых числа, причём сумма любых трёх из них меньше четвёртого числа. Какое наименьшее количество отрицательных чисел может быть написано на доске?

1. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

1. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN: NB = 3: 2, BM: MC = 2: 5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM: OA и ON: OD.

Решение:

№1.

Если бы все 10 пар чисел давали суммы, делящиеся на 11, то и сумма всех этих сумм, то есть сумма всех 20 чисел, делилась бы на 11. Однако число 1+2+3+…+20 = 210 не делится на 11. Значит, таких пар не больше 9. С другой стороны, пример 2+20 = 3+19 = 4+18 =…=10+12 = 22 показывает, как получить 9 искомых пар (последняя сумма 1+11 равна 12 – числу, не делящемуся на 11).

Замечание. Существуют и другие разбиения, в которых суммы в девяти парах делятся на 11.

Замечание. Так как среди чисел от 1 до 20 только 11 делится на 11, то сумма чисел в паре с 11 на 11 делиться не будет. Отсюда сразу следует, что требуемых пар не больше 9.

Ответ: 9

№2

Когда Петя закончил бег, ребята вместе пробежали 4 • 100 - 40 = 360 м. А за

12 секунд они вместе пробежали 288 м. То есть за 12 секунд Петя пробежал 288/360 от 100 метров, то есть 288 : 360 • 100 = 80 метров.

Ответ: 80 метров.

№3

Пусть a ≤ b ≤ c ≤d – данные числа. Из условия следует, что b+c +d a. Но

a ≤b , значит, b + c +d a ≤ b , откуда следует, что c + d ≤ 0. Значит, по крайней мере одно из двух самых больших чисел, написанных на доске, отрицательно. Следовательно, отрицательных чисел не меньше трёх.

Пример чисел –5, –4, –3, 1 показывает, что одно из чисел может быть положительным.

Ответ: Три.

№4

Так как десяток было четыре, то на оставшиеся 6 выстрелов приходится 50 очков. Поскольку стрелок попадал лишь в семёрку, восьмёрку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семёрку, восьмёрку и девятку) он наберёт 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела ему нужно набрать 26 очков, что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семёрку стрелок попал 1 раз, в восьмёрку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Ответ: в семёрку стрелок попал 1 раз, в восьмёрку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

№5

Продолжим DN до пересечения с прямой BC в точке T. Положим BM = 2a, CM = 5a. Из подобия треугольников TNB и DNA (коэффициент 2/3) находим, что а из подобия треугольников TOM и DOA —

Продолжим АМ до пересечения с прямой СD в точке К.

Аналогично находим, что .

Ответ: 20:21; 6:35