Олимпиадные задания по математике

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2016-2017

Школьный этап

5 класс (90 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

5.1. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.

5.2. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

- если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

- первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?

5.3. Разгадайте ребус, в котором одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а разные цифры разными буквами: УДАР + УДАР = ДРАКА.

5.4. Двузначное число при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2, при делении на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4. Что это за число?

5.5. На сколько частей могут разделить треугольник три пересекающие его прямые?

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2016-2017

Школьный этап

6 класс(90 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

6.1.Как расположить гирьки весом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй – три, в третьей – четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым?

6.2.Расшифруйте запись (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры): БУЛОК+БЫЛО = МНОГО

6.3.Девочка по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врет. Как-то её три сентябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день она ответила: «Ольга», на второй: «Лена», на третий: «Маша». Как зовут девочку? Объясните, как вы рассуждали.

6.4.Три утенка и четыре гусенка весят 2кг 500г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит гусенок?

6.5.На сторонах прямоугольника 3  5 внешним образом постройте четыре квадрата и соедините их центры. Какую фигуру вы получили? Найдите ее площадь.

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2016-2017

Школьный этап

7 класс (135 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

7.1. Доказать, что число 11…11 (восемьдесят одна единица) делится на 81.

7.2. Турист отправляется в поход из А в В и обратно и проходит весь путь за 4 часа 41 минуту. Дорога из А в В идет сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста составляет при подъеме в гору 4 км/час, на ровном месте 5 км/час и при спуске с горы 6 км/час, а расстояние АВ равно 9 км?

7.3. Имеются 4 пакета и весы с двумя чашками без гирь. С помощью 5 взвешиваний расположить пакеты по весу.

7.4. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см², 4 см², 6 см². Найдите площадь прямоугольника.

7.5. Учитель математики, проверив контрольные работы у трех друзей: Алексея, Бориса и Василия, сказал им: «Все вы написали работу, причем получили разные отметки («3», «4», «5»). У Василия – не «5», у Бориса – не «4», а у Алексея, по-моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному ученику сказал отметку верно, а другим двум – неверно. Какие отметки получил каждый из учеников?

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2016-2017

Школьный этап

1. класс(135 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

8.1.Постройте график функции y=.

8.2.Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на 2015.

8.3 Гонцу надо было пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути оказалась равной 12 миль в час?

8.4.Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A² = B²(B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

8.5. ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2016-2017

Школьный этап

9 класс (135 минут–180 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

9.1. Постройте график функции:

_ – _

1. Решите уравнение:

1. В треугольнике АВС угол В в три раза больше угла А и в шесть раз больше угла С, а сторона ВС на 1 см меньше стороны АС. Найдите длину биссектрисы BL .

1. Cуществуют ли натуральные числа k, m, n, что _ ? Ответ обоснуйте.

1. На какое наименьшее число выпуклых четырехугольников можно разрезать выпуклый девятиугольник? Ответ обоснуйте.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2016-2017

Школьный этап

10 класс(135 минут–180 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

10.1. Известно, что x + y + z = 10, xy + xz + yz = 7. Чему равно x² + y² + z²?

10.2. Решите систему уравнений: _

10.3. Постройте график уравнения _

10.4. На карьере добыли 36 камней. Их веса составляют арифметическую прогрессию: 490, 495, 500,…, 665 кг. Можно ли увезти эти камни на семи трехтонных грузовиках?

10.5. В равнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AM к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM и AMC, равны 36 и 18.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2016-2017

Школьный этап

1. класс(135 минут–180 минут)

Каждое задание оценивается в 7 баллов (максимальное количество–35 баллов)

11.1. Известно, что . Найти .

11.2. Решите уравнение .

11.3. В равнобедренной трапеции основания 21 см и 9 см, высота 8 см. Найти радиус окружности, описанной около трапеции.

11.4. Решите уравнение .

11.5. а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 199 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.