Опорный конспект по теме: "Квадратные уравнения" 8 класс

Квадратное уравнение

Образец решения

Примеры для самостоятельного решения

Полное квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0

х – неизвестное; а, b, c – некоторые числа, причем а0

D = b-4ac – дискриминант квадратного уравнения; определяет количество корней:

если D 0 – 2 корня;

D = 0 - 1 корень;

D корней нет.

Формула корней квадратного уравнения:

x=

Приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении

коэффициент а = 1, то уравнение принимает вид

х+ px + q = 0

Теорема Виета:

если х и х- корни уравнения х+ px + q = 0, то справедливы равенства

х + х= -p

х · х= q

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении

ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то уравнение называется неполным и принимает вид:

ax² = 0 (b=0 и c=0);

ax² + с = 0 (b=0);

ax² + bx = 0 (с=0.

2х² + 3х – 5 = 0

a = 2, b = 3, c = -5

D = b² - 4ac = 3² - 4·2·(-5) = 49

x===

x= = = 1;

x== = = –2.

Ответ: –2; 1.

1) х² + 3х – 28 = 0

Пусть х и х- корни уравнения. Тогда по теореме Виета

х + х= -3 х = + ?

х · х= -28 х= – ?

_{Так как (-28) - отрицательное число, то знаки корней разные.}

_{Так как (-3) – отрицательное число, то}

_{больший корень будет со знаком « – ».}

_{Разложим число 28 на два множителя:}

_{28 = 28 · 1 = 14 · 2 = 7 · 4.}

_{По сумме корней подходит пара чисел (-7) и 4.}

Ответ: -7; 4.

2) х² - 9х + 14 = 0

Пусть х и х- корни уравнения. Тогда по теореме Виета

х + х= 9 х = + ?

х · х= 14 х= + ?

_{Так как 14 –положительное число, то знаки корней одинаковые.}

_{Так как 9 – положительное число, то}

_{оба корня будут со знаком « + ».}

_{Разложим число 14 на два множителя:}

_{14 = 14 · 1 = 7 · 2.}

_{По сумме корней подходит пара чисел 7 и 2.}

Ответ: 2; 7.

1) 7x² = 0|:7

x² = 0

x = 0

Ответ: 0

2) 3x² - 12 = 0

3( x² - 4) = 0

x² - 4 = 0 или ( x – 2)( x – 2)=0

x² = 4 x – 2=0 x+2=0

x= x= 2 x= –2

x= 2

Ответ: –2; 2.

3) 4x² + 3 = 0

4x² = - 3|:4

x² = -

Ответ: корней нет

4) –5x² + x = 0 |· (-1)

5x² – x = 0

x (5x – 1) = 0

x=0 5x – 1 =0

5x = 1 |: 5

x=

Ответ: 0; .

1. 2 х² – х - 1 = 0

2. 5х² + х - 4 = 0

3. 20х² + х - 1 = 0

4. 8x² + 10x + 3=0

5. -6x² + 7x – 2 =0

6. 4x² + 7x -2 =0

7. 2х² +9х - 5 = 0

8. 5х² - 11х + 2 = 0

9. 24х² + 5х - 1 = 0

10. -2х² -+7х - 6 = 0

Ответы:

1) х² –5 х + 4 = 0

2) х² + 6х + 5 = 0

3) х² + 10х + 9 = 0

4) x² + 4x – 45 = 0

5) x² - 16x + 39 = 0

6) x² - x - 56 = 0

7) х² - 4х - 60 = 0

8) х² + 8х - 105 = 0

9) х² + 12х - 28 = 0

10) х² - 7х – 30 = 0

Ответы:

1. 2,5 x² = 0

2. -3,2 x² = 0

3. 2 x² - 18 = 0

4. 1,5 x² +7 = 0

5. 16 x² - 25 =0

6. 4 x² +12x =0

7. 3 x² =15

8. 9 x² - 6x =0

9. -3 x² - 2x =0

10. 1,5 x² = -7,5x

Ответы: