Опорные схемы решения неравенств

Опорные схемы решения неравенств

Методы решения неравенств зависят от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенства.

Линейные неравенства

Самые простые для решения неравенства, которые решаются группировкой слагаемых с переменой в левой части неравенства, а свободных слагаемых - в правой. Затем обе части неравенства делятся, на коэффициент в левой части, меняя знак неравенства( если это необходимо).

Квадратные неравенства

Решение всех квадратных неравенств основано на свойствах квадратичной функции (параболы). Поэтому если обучающиеся хорошо представляют себе эту тему, то проблем с решением таких неравенств у них не возникнет. Суть решения квадратных неравенств сводится к следующему:

• рассмотреть квадратичную функцию;

• выяснить куда направлены ветви параболы;

• найти корни уравнения;

• определить знаки, которые принимает функция на каждом интервале;

• записать ответ с правильным включением границ необходимых интервалов.

Рассмотрим пример решения квадратного неравенства.

Алгебраические неравенства высших степеней

С помощью методов решения рациональных уравнений многочлен n-ой степени раскладываем на множители. При этом следует сокращать на заведомо положительные выражения или отрицательные ( в последнем случае знак неравенства нужно менять на противоположный). Затем знаки вычисляются как по методу интервалов, и находится ответ в виде интервала или объединения интервалов.

Дробно-рациональные неравенства

Данные неравенства следует решать по следующей схеме:

• перенести все члены неравенства в левую часть;

• левую часть неравенства  привести к общему знаменателю и постараться разложить числитель и знаменатель на множители;

• заменить дробное неравенство целым, т. е. домножить правую и левую части неравенства на знаменатель (при домножении на отрицательное число знак неравенства следует поменять на противоположный!);

• решить полученное неравенство методом интеравалов (как и алгебраическое неравенство высших степеней).

Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить, что областью определения корня четной степени является положительная полуось Ох, а областью определения корня нечетной степени является вся числовая ось. Перед решением следует привести неравенство к такому виду, чтобы в левой части находился корень, а в правой некоторая функция. Далее рассуждения могут быть следующими :

• найти область определения исходного неравенства;

• решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;

• из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства;

• проверить оставшиеся корни методом подстановки.

Утверждения о равносильности неравенств имеют следующий вид:

Если обе части неравенства на множестве D принимают только неотрицательные значения, то возведя обе части неравенства в любую четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному на множестве D.

Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным (эквивалентным) преобразованием неравенства.

Показательные неравенства

Показательные неравенства решаются на основе способов решения показательных уравнений. Они, в свою очередь, связаны с величиной основания (показателя степени), в зависимости от которого ответ будет иметь тот или иной знак:

• если a0, то тогда решаем неравенство f(x) log_ab;

• если af(x)log_ab.

Логарифмические неравенства

Логарифмическими называются неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических неравенств нахождение области определения исходного неравенства не является обязательным, а часто даже нецелесообразным, поскольку условия, задающие область определения неравенства, обычно подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного логарифмического неравенства. Логарифмические неравенства решаются с точно такой же логикой, как и показательные, только на этот раз знак конечного неравенства зависит от величины основания логарифма:

• если a0;

• если а

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства решаются с использованием либо окружности единичного радиуса либо графика той или иной тригонометрической функции. В отличие от всех других типов неравенств – ответом для тригонометрических неравенств (в общем виде) будет бесконечное число промежутков, так как тригонометрические функции – функции периодические.

Общую схему решения тригонометрических неравенств можно записать следующим образом:

• привести неравенство к виду, чтобы слева стояла одна простая тригонометрическая функция;

• изобразить на графике (окружности), точки, при которых неравенство выполняется;

• определить граничные углы ( диапазоне от 0 до ) и записать ограничения на аргумент для этих углов;

• добавить к предыдущему ответу период тригонометрической функции, полученной на первом этапе;

• выразить из аргумента неизвестную х.

Неравенства с модулем

Решение неравенства с модулем сводится к операции раскрытия модуля и решению двух новых получившихся в результате неравенств.