Определение конуса

Определение конуса.

МОУ СОШ №256 г.Фокино

Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками, соединяющими точку, вершину конуса, со всеми точками окружности, ограничивающей основание конуса.

Элементы конуса.

Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со всеми точками какой–нибудь кривой, ограничить плоскостью.

Прямой круговой конус.

Круговой конус называется прямым , если его высота попадает в центр круга.

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.

?

• Чему равен угол между образующей и основанием конуса, если известен угол между высотой и образующей.

65 0

• Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса. Эта прямая так и называется – осью конуса.

?

7

• Конус получен при вращении прямоугольного треугольника

S = 14. Радиус основания конуса равен 4. Определите высоту этого конуса.

Сечения конуса.

• Если через вершину конуса провести плоскость, пересекающую основание, то в сечении получится равнобедренный треугольник.

Сечения конуса.

• Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым . В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. ( Угол при вершине конуса ).

?

30

• Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус основания конуса и образующая.

Сечения конуса.

• Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг.

?

• Через середину высоты конуса провели плоскость, перпендикулярную оси, и получили круг R = 5. Чему равна площадь основания конуса?

100 π

Задача.

Дано: H = R = 5;

SAB – сечение;

d (O, SAB) = 3.

Найти: S ΔSAB

1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту.

~

2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.

3) Вычислим площадь треугольника.

Вписанная и описанная пирамиды.

Пирамидой, вписанной в конус , называется такая пирамида, основание которой – многоугольник, вписанный в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

?

5 √3

• Пусть высота конуса равна 5 , а радиус основания – 2.

В конус вписана правильная треугольная пирамида. Определите ее объем.

Вписанная и описанная пирамиды.

Пирамида называется описанной около конуса , если ее основание – это многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды проходят через образующую конуса и касательную к окружности основания, т.е. касаются боковой поверхности конуса.

?

• Вокруг конуса описана правильная четырехугольная пирамида. Радиус основания и образующая конуса известны. Найдите боковое ребро пирамиды.

2√2

Боковая поверхность конуса.

Под боковой поверхностью конуса мы будем понимать предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.

Дано:

R – радиус основания конуса,

l – образующая конуса.

Доказать:

S бок.кон. = π Rl

Доказательство:

?

20 π

• Пусть конус будет получен от вращения прямоугольного треугольника с известными катетами. Найдите боковую поверхность этого конуса.

Развертка конуса.

Развертка конуса – это круговой сектор. Его можно рассматривать как развертку боковой поверхности вписанной правильной пирамиды, у которой число боковых граней бесконечно увеличивается.

• Зная угол, образованный высотой и образующей конуса, можно вычислить угол сектора, полученного при развертке конуса, и наоборот.

• Найдем выражение для градусной меры угла развертки конуса.

?

• По данным рисунка определите, чему равен угол развертки этого конуса. Ответ дайте в градусах.

72 0

Задача.

Дано: полукруг радиусом R = 8.

Найти: Н, β ( угол между образующей и основанием.)

1) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом между высотой и образующей конуса. Получим угол между высотой и образующей, а затем найдем угол между образующей и основанием конуса.

2) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

Объем конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Дано: R – радиус основания

Н – высота конуса

Доказать: V кон. = 1/3 S осн. H

Доказательство:

Объемом конуса будем считать предел, к которому стремится объем вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Доказательство:

?

12 π

• Найдите объем конуса, если радиус его основания равен трем, а образующая равна пяти.

Задача.

Дано:

SABC – пирамида, вписанная в конус

SA = 13, AB = 5,

ے ACB = 30 0 .

Найти: V конуса

1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.

2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной окружности. Найдем высоту пирамиды.

3) Определим объем конуса.