Определители. Метод Крамера решения систем алгебраических уравнений.

Линейная алгебра

Определители. Метод Крамера.

Задача (метод контурных токов)

• Дано:

R 1 = 4 Ом; R 2 = 10 Ом; R 3 = 1 Ом; R 4 = 5 Ом; R 5 = 2 Ом; R 6 = 5 Ом; R 7 = 2 Ом; E 1 = 10 В; E 2 = 10 В; E 3 = 8 В;

• Найти:

Токи в схеме методом контурных токов.

I 11 , I 22 , I 33 — ?

Применив второй закон Кирхгофа, составим систему уравнений для трех контуров в общем виде:

?

1. Определители 2-го и 3-го порядка

• Определитель-детерминанта

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

• Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам

• Определитель обозначается:

|А|

или

∆

det А

Определитель 2-го порядка

Определитель 3-го порядка

Схема вычисления определителя 3-го порядка

Правило треугольников

Выделенные элементы перемножают

Вычислите определители 2-го порядка

Вычислите определитель 3-го порядка

Вычислите определитель 3-го порядка

2. Свойства определителя

• 1. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число

• Такое свойство определителей позволяет выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.

• 2. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

• 3. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю

• 4. Если две строки (столбца) определителя равны между собой, то определитель равен нулю

• 5. Если две строки (столбца)определителя пропорциональны друг другу, то определитель этой равен нулю:

• Учитель математики:

— Класс настолько слаб в математике, что 90% в этом году провалятся на экзамене! С задней парты:

— Да нас всех столько-то и не будет!

• Высшая математика в жизни мне пригодилась только один раз — когда ключи упали в унитаз пришлось скрутить из проволоки интеграл.
• Вовочка приходит домой:

— Уж не знаю, верить ли нашему учителю математики. Вчера он сказал, что 10=6+4, а сегодня, что 10=7+3.

Метод решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными

Габриэль Крамер

• (1704–1752) — швейцарский математик, ученик Иоганна Бернулли, один из основателей линейной алгебры.

Составим определитель

из коэффициентов при неизвестных

Назовем его определителем системы.

Если Δ≠0, то система совместна

Далее составим три вспомогательных определителя:

, ,

Формулы Крамеры

Решение системы находим по формулам:

которые называют формулами Крамера

Решите систему уравнений

Закрепление

• В.П. Григорьев

Задачник: стр. 14 №2.9

Фронтальный опрос

• 1) Какую профессиональную задачу помогает решить изучаемая сегодня тема?
• 2) Что такое определитель?
• 3) Какие определители вы знаете?
• 4) Как вычислять определитель 2-го порядка?
• 5) Как вычислить определитель 3-го порядка?
• 6) Запишите формулы Крамера.
• 7) Какой смысл имеют элементы формул Крамера в числителе?
• 8) Какой смысл имеют элементы формул Крамера в знаменателе?

• Как отличить физика от математика? Надо задать вопрос: «Антоним слову параллельно?»...Как ответит математик и как физик? — Перпендикулярно-математик — Последовательно-физик