Основные формулы тригонометрии

Школа №67

Основные тригонометрические формулы

Выполнила

Шестак Анастасия

Руководитель: Синякова Е.А.

г.Владивосток

содержание

• Синус, косинус и тангенс углов
• Формулы сложения
• Синус, косинус и тангенс двойного угла
• Синус, косинус и тангенс половинного угла
• Формулы приведения
• Сумма и разность синусов.Сумма и разность косинусов.

• Радианная мера угла
• Поворот точки вокруг начала координат
• Определение синуса, косинуса и тангенса угла
• Знаки синуса, косинуса и тангенса
• Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Радианная мера угла

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в , то дуга длиной R стягивает угол в раз меньший, т.е.

Так как = 3,14, то 1 рад = 57,3 .

Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна

0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной (рис1).Конечную точку пути обозначим М. M y P(1;0) o x P(1;0) o x Рис 1 M Рис 2 В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол % рад. Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте. " width="640"

Поворот точки вокруг начала координат

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол рад, где -любое действительное число.

y

2. Пусть

1. Пусть 0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной (рис1).Конечную точку пути обозначим М.

M

y

P(1;0)

o

x

P(1;0)

o

x

Рис 1

M

Рис 2

В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол % рад.

Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin )

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos )

В этих определениях угол может выражаться как в градусах, так и в радианах.

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается tg )

Таким образом,

Иногда используется котангенс угла (обозначается ctg ), который определяется формулой

0 и cos 0, если (рис 3,4). Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin 0, cos 0 (рис 3,4). 2. Знаки тангенса. По определению Поэтому tg 0, если sin и cos имеют одинаковые знаки, и tg y y y sin tg cos - + - + + + o o o o o o x x x + - - - - + Рис 5 Рис 3 Рис 4 " width="640"

Знаки синуса, косинуса и тангенса

1. Знаки синуса и косинуса . Пусть точка (1;0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти, ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin 0 и cos 0, если (рис 3,4).

Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin 0, cos 0 (рис 3,4).

2. Знаки тангенса. По определению

Поэтому tg 0, если sin и cos имеют одинаковые знаки, и tg

y

y

y

sin

tg

cos

-

+

-

+

+

+

o

o

o

o

o

o

x

x

x

+

-

-

-

-

+

Рис 5

Рис 3

Рис 4

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

- основное тригонометрическое тождество.

Из него можно выразить sin через cos и cos через sin :

В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По

определению тангенса и котангенса

Перемножая эти равенства, получаем .

Из этого равенства можно выразить tg через ctg и наоборот:

Синус, косинус и тангенс углов и

Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1;0) на углы и соответственно (рис 6). Тогда ось 0х делит угол М10М2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симметричны относительно оси 0х.

Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М1 имеет координаты ( ), точка М2 имеет координаты .

Следовательно,

Используя определение тангенса, получаем .

Таким образом,

y

M 1

P(1;0)

o

х

М2

Рис 6

Формулы сложения

Теорема. Для любых и справедливо равенство

Синус, косинус и тангенс двойного угла

Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.

2.

Итак,

1.

Итак,

Полагая в формуле получаем

Синус, косинус и тангенс половинного угла

По известным значениям и можно найти значения и , если известно, в какой четверти лежит угол .

Из формулы при получаем (1)

Запишем основное тригонометрическое тождество в виде (2)

Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем (3)

(4)

Формулы (3) и (4) можно записать так: (5)

(6)

Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла

Формулы приведения

Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 0 до 90 (или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.

Вообще, формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:

Следующие шесть формул называют формулами приведения для косинуса:

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

Подведем итоги

Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств находить другие, нам еще неизвестные.

Д.С. Аничков

Математика действительно очень важна в жизни каждого человека. Ведь без нее никуда! А тригонометрические формулы являются ее неизменной частью. Надеюсь, моя презентация, посвященная именно тригонометрическим формулам поможем вам лучше разобраться в трудных моментах.