Основные понятия комбинаторики. Правило суммы и произведения.

М инистерство образования и науки ЛНР

ГБОУ СПО ЛНР «Луганский колледж автосервиса

имени А.А.Гизая»

Методическая разработка

урока на тему:

Дисциплина: Алгебра и начала математического анализа

Преподаватель А.С.Жевноватченко

г. Луганск

2021

Аннотация

Методическая разработка по алгебре

«Основные понятия комбинаторики. Правило суммы и произведения».

Данная тема изучается в 10 классе. Разработка представлена в виде лекции с элементами практикума, с использованием проблемного и частично-поискового метода. Данный материал рассчитан на 1 аудиторный час.

Актуальность методической разработки состоит в том, что в представленной лекции материал подается поэтапно, детально объясняются действия, решаются примеры и задачи по комбинаторике.

На протяжении изучения материала обучающимся представлена возможность  познакомиться с историей возникновения комбинаторики; рассмотреть ее практическое применение в повседневной жизни, познакомиться с правилами суммы и произведения.

План урока

Конспект открытого урока по математике

Тема: Основные понятия комбинаторики. Правило суммы и произведения

Место урока: начальный (1 урок из 6 уроков по теме «Элементы комбинаторики»)

Тип урока: урок «открытия новых знаний».

Продолжительность: 45 минут

Цель урока: ввести понятие науки "комбинаторика", комбинаторной задачи;  познакомить с историей возникновения; показать обучающимся  на примерах практическое применение  в повседневной жизни, познакомиться с правилами суммы и произведения. 

Задачи:

Образовательная: познакомить обучающихся с  правилами  суммы и произведения, методом перебора для решения комбинаторных задач, формировать навыки их  применения  при решении простейших задач;

Развивающая: развивать математическое мышление и логическую речь обучающихся;   мотивацию  к познанию социокультурной среды;

Воспитательная: формировать навыки самоконтроля, воспитывать  чувство ответственности за качество и результата выполняемой работы, вырабатывать партнерские отношения.

Методы обучения: проблемный, частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный, исследовательский.

Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся: коллективная форма работы, групповая, индивидуальная работа.

Оборудование и основные источники информации: компьютер, проектор, электронная доска, презентация к уроку, раздаточный материал (карточки с задачами, шаблон буклета).

Этапы уроков:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Подготовка к изучению нового материала (7 мин)

3. Изучение нового материала (15 мин)

4. Закрепление изученного материала (10 мин)

5. Подведение итога урока (3 мин)

6. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин)

7. Сообщение домашнего задания (2 мин)

ХОД УРОКА

I.Организационный момент (3 мин)

Здравствуйте, дорогие ребята! Я рада видеть вас в хорошем настроении. Хочу представить вам свой урок для 106 группы и начать его с высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра:

"Число, положение и комбинация-

три взаимопересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи"

II.Подготовка к изучению нового материала ( 7 мин)

Преподаватель (постановка проблемы урока в форме игры):

- Ребята у меня возникла проблема. Ольга Витальевна позволила мне воспользоваться ее компьютером, назвала пароль, а я в нем забыла две последних цифры. Что делать? Может подскажите, какую пару чисел набрать? А сколько таких способов или вариантов надо перебрать, чтоб найти подходящий?

Сегодня на уроке мы познакомимся с разделом математики, который позволяет  ответить на  вопрос «Сколькими способами… « или «Сколько вариантов…» Перед вами ребус, в котором зашифровано имя этой науки.

Ребус.

,,,+м+  ,,,+, ,,,+то+   .
→е=и →е=и

Ответ обучающихся: - Комбинаторика.

Преподаватель: тема нашего урока «Основные понятия комбинаторики. Правило суммы и произведения».

Обучающиеся записывают тему в тетрадь.

При изучении нового материала ребята часто задают вопросы: «А зачем она нужна?», «Может ли она чем-то помочь в реальной жизни?»

Поэтому для начала хочу предложить поиграть в игру.

Игра «Верите ли вы, что…»

с этой наукой вы сталкиваетесь каждый день?

Что  комбинаторика поможет стать востребованным в реальной жизни?

Что достаточно купить три билета для «крупного» выигрыша в лото?

Что  и в игре, и в жизни можно предугадать действия соперника?

Что комбинаторика применима практически во всех сферах жизнедеятельности человека?

Преподаватель выслушивает мнение обучающихся.

Я выслушала ваше мнение и в конце урока мы вернемся к этим вопросам.

III.Изучение нового материала (15 мин)

Преподаватель: В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь, доехав до распутья, читает на камне: "Вперёд поедешь – голову сложишь, направо поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из этого положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из этих комбинаций выбрать наилучшую.

Преподаватель: далее про историю возникновения комбинаторики нам расскажет обучающийся ________________, который подготовил небольшое сообщение.

Обучающийся: Из Истории ( обучающийся рассказывает факт из истории)

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать  их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение  охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов –  во время работы.  Первые упоминания  о вопросах близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях 12-13 вв до н.э. В древней Греции изучали фигуры, которые можно было составить из частей квадрата, разрезанного особым образом. Позже появились такие игры как нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.   Многие ученые проводили исследования по комбинаторике. И только в  1666 г. была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику рассматривают как самостоятельный раздел математики.

Задача, в которых идет речь о тех или  иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой.

Преподаватель: И сегодня мы научимся находить   возможные комбинации для решения элементарных комбинаторных задач и рассмотрим сферы их применения. Так же мы познакомимся с новой для нас наукой– теорией вероятности, а именно, с одним из ее разделов – комбинаторикой.

Преподаватель: Давайте же узнаем что такое «факториал числа» и как его находить.

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно.
Обозначается с восклицательным знаком в конце.
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n
Случай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.
Ниже приведены значения факториалов от 0 до 10

Обучающиеся записываю в тетрадь определение и формулу.

0! = 1
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 362880

Преподаватель: Давайте рассмотрим правила суммы и произведения.

Обучающиеся записывают в тетрадь правила сложения и умножения.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

В первом примере:

Туриста заинтересовали 5 маршрутов в Карелии и 7 маршрутов на Кавказе. Сколькими способами он может организовать свой отпуск, имея время только на один маршрут?

Ответ: всего имеется 5+7=12 маршрутов.

Один из них можно выбрать 12-ю способами

Правило произведения.  Если элемент а можно выбрать m способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами, то выбор «а и b» в указанном порядке можно осуществить m•k способами.

Во втором примере

Туриста заинтересовали 5 маршрутов в Карелии и 7 маршрутов на Кавказе. Он хочет побывать в Карелии и на Кавказе. Сколькими способами он может организовать свой отпуск, имея время на два маршрута?

Ответ: 5*7=35 маршрутов

Выбрав один маршрут в Карелии, второй с ним можно выбрать 7-ю способами.

IV.Закрепление изученного материала (10 мин)

Преподаватель: для закрепления изученного материала я предлагаю решить и записать несколько задач.

Пример: В классе 16 девочек и 11 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать старосту класса?

Решение:

n(A)=16

n(B)= 11

Задача: Пусть предстоит сделать выбор одного теннисного мяча, если имеется 4 мяча фирмы Dunlop, 6 мячей фирмы Slazinger и 4 мяча фирмы Penn. Сколькими способами вы можете выбрать один мяч?

Решение: 4+6+4=14

Пример: Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое пар туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?

Решение:

n(A)=4

n(B)= 5

n(С)= 3

Задача: Пусть вам предстоит сделать выбор одного теннисного мяча, одной теннисной ракетки, одной теннисной майки, если имеется 4 мяча фирмы Dunlop, 2 мяча фирмы Slazinger, 2 ракетки фирмы Slazinger, 1 ракетка фирмы Head и 2 майки фирмы Lacoste. Сколькими способами вы можете выбрать тройку ( мяч, ракетка, майка)?

Решение: Сначала выберем пару (ракетка, мяч). Для этого составим таблицу.

Очевидно, что всего имеется 6*3=18 возможностей выбора пары (мяч, ракетка).

Теперь для каждой пары можем выбрать одну из двух маек. Получим 6*3*2=36 троек (мяч, ракетка, майка)

V.Подведение итога урока (3 мин)

Давайте же, определим, области применения комбинаторики:

Преподаватель рассказывает про области применения комбинаторики.

-учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)

Так как обучающиеся изучили новый материал, то они отвечают на вопросы:

С какой наукой мы познакомились? (Комбинаторика)

Кто из учёных внёс вклад в развитие науки? (Готфрид Вильгельм Лейбниц)

Какие способы решений задач Вы узнали? (Мы узнали два способа, это правило суммы и произведения)

Вывод:

Комбинаторика повсюду.

Комбинаторика везде.

Комбинаторика вокруг нас.

Я предлагаю вернуться  к нашей игре "Верите ли вы, что..." и переосмыслить свои ответы.

VI.Рефлексивно-оценочный этап (5 мин)

Оценивание достижение обучающихся.

Выставляются оценки обучающимся, которые активно работали на уроке. А так же обучающемуся, который подготовил сообщение о фактах из истории комбинаторики.

VII.Сообщение домашнего задания (2 мин)

Так как обучающиеся на очно-заочной форме обучения, я подобрала просмотр видеороликов:

• 1. Посмотреть видеоролик https://www.youtube.com/watch?v=s3n4qxmXEMU&ab_channel=MEKTEПOnLineMATEMATИKA

(Эльмира Рафикова - преподаватель "Специализированная гимназия № 8 им. Ю.Гагарина для одаренных детей". Рассказывает о привели суммы и произведении)

• 2. Посмотреть видеоролик https://www.youtube.com/watch?v=3KIz8d_IG3I&ab_channel=TutorOnline-урокидляшкольников

(Преподаватель Ольга Александровна наглядно покажет чем отличается перестановка, размещение и сочетания друг от друга на книгах и объяснит их формулы!)

• 3. Изучит параграф 60 и 68. Учебник: https://drive.google.com/file/d/1nfDkYt0S2Rjgn66QBhwzl8DMrLXVQjkX/view‌?usp=sharing‌ ‌

• Выполнить задания №1049, №1055, №1141

VII.Итог, рефлексия.

На следующих уроках мы познакомимся с другими комбинаторными задачами и изучим размещения и перестановки элементов. Всем спасибо.