Основные виды и способы решения текстовых задач на ОГЭ по математике

XXVII Республиканская научная конференция молодых исследователей

«Шаг в будущее»

Исследовательская работа:

«Основные виды и способы решения текстовых задач на ОГЭ по математике»

Симпозиум: Математика и информационные технологии

Направление: Прикладная математика.

Выполнила: Мидетова Айшат Сурхаевна

ученица 9-б класса МКОУ «Самурская СОШ»

Адрес: с. Самур, ул.Родниковая 4, Магарамкентского района РД

Научный руководитель :Рамазанова Эмма Джаруллаевна

учитель математики Самурской СОШ

Адрес: с. Самур, ул.Пушкина 18,Магарамкентского района РД

Телефон 8 963 424 55 14

2021 год

Аннотация

В данной работе ведется исследование и решение текстовых задач, которые можно встретить в школьном курсе математики, а также в контрольно- измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ . Работа состоит из введения, двух глав , заключения и литературы. В первой главе приведены примеры основных видов текстовых задач. Вторая глава состоит из двух пунктов. В первом пункте представлены основные способы решения текстовых задач, которые встречаются в школьном курсе, а во втором пункте приведены примеры текстовых задач и их решение из вариантов ОГЭ последних лет. Все текстовые задачи, приведенные в работе, решены составлением таблиц и схем.

Тема актуальна, так как текстовые задачи есть в вариантах ГИА, но в школьном курсе математики не достаточно изучаются все виды и способы их решения.

Цель данной работы более глубокое изучение этой темы, выявление наиболее рационального решения, которое быстро приводит к ответу.

Работа может служить методическим материалом для факультативного курса в 9-11 классах.

Введение

С давних пор задачи играют огромную роль в обучении.  В школьном курсе математики отводится немалое количество часов решению задач. Но тем не менее у многих моих одноклассников возникают трудности при решении текстовых задач. Это и не удивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной подготовки для решения текстовых задач. При решении задач у нас развивается внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. В процессе решения задач у нас развиваются способности не только математические, но и общие, интеллектуальные, которые, в свою очередь, необходимы для развития нас в целом, способствуя нашей успеваемости почти по всем школьным предметам. Поэтому я поставила перед собой задачу изучить данную тему, попробовать научиться решать текстовые задачи и разработать способы решения задач и набор рекомендаций в помощь выпускникам для получения высоких баллов на ОГЭ.

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать задачи в школе и при сдаче ОГЭ.

Цель данной работы -более глубокое изучение этой темы, выявление наиболее рационального решения .приводящее к быстрому ответу.

Для достижения цели нужно решить следующие задачи:

- Изучить литературу об основных видах математических задач.

- Познакомиться с методами решения текстовых задач, предложенными в школьном курсе и предложить их решение с помощью таблиц и схем.

- Рассмотреть решения текстовых задач в контрольно-измерительных материалах ОГЭ .

. Объектом исследования были текстовые задачи школьного курса и КИМ ОГЭ.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, список литературы.

Я надеюсь, что знания ,полученные мной в процессе работы ,помогут мне и многим выпускникам при сдаче ОГЭ и при поступлении в ВУЗ.

Глава 1. Основные виды задач.

Если говорить об основных видах задач, то необходимо для начала определить, из каких компонентов они состоят и на какие этапы можно разделить процесс решения задачи.

В методике преподавания математике процесс решения текстовых задач делят на четыре этапа:

1)Понимание условия задачи.

Это самый главный этап в решении задачи, так как учащиеся должны понимать, что дано в условии и что требуется найти в задаче. Они должны осмыслить отдельные элементы условия, после этого они производят поиск необходимой информации в своей памяти, и сопоставить с известной информацией условие и заключение задачи.

2) Составление плана решения.

Учащимся необходимо разработать целенаправленные действия всевозможных сочетаний из данных и искомых, довести задачу к известному типу, выбрать для решения самый оптимальный метод и наметить для себя план решения.

3)Реализация плана решения.

В этом этапе учащиеся почти выполняют план решения, выбирают подходящий способ для оформления решения и оформляют его.

4) Исследование найденного решения.

Учащиеся делают акцент на конечном результате решения задачи, анализируют его, по необходимости проводят исследование особых и частных случаев

Если рассматривать, как задачи относятся к теории то можно выделить стандартные и нестандартные задачи.

Рассмотрим на примере стандартные задачи:

1. Первый мотоциклист за 3часа проехал на 36км больше, чем второй за 2час. Найдите скорость каждого, если скорость второго мотоциклиста на 25 км/ч меньше скорости первого.

2. В классе 36 учеников. По математике за четверть отметку «5» имеют 8 человек, отметку «4» – 12 человек, а остальные – отметку «3». Постройте круговую диаграмму. По этим данным построить круговую диаграмму.

Рассмотрим на примере нестандартные задачи:

Александр, Борис, Виктор и Григорий – друзья. Один из  них  врач, другой – журналист, третий – спортсмен, а  четвертый – строитель. Журналист написал статью об Александре и Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом ходили в поход. Александр и Борис были на приеме у врача. У кого какая профессия?

По своему математическому содержанию, соответствующей специфике той или другой математической дисциплины, задачи можно разделить на: алгебраические, арифметические, геометрические, аналитические.

По содержанию задачи группируют на:

• задачи на движение,

• задачи на проценты и сложные проценты,

внутри каждого образа в зависимости от логической структуры задачи разделяют еще следующие виды задач:

• задачи на совместную работу,

• задачи на концентрацию ,сплавы и смеси.

По характеру различают следующий вид задач:

1)На вычисление.

2)На построение.

3)На доказательство

4)На исследование.

5)На моделирование.

6)текстовые задачи.

7)задачи комбинированного характера.

Глава2. Решение текстовых задач.

1.Решение текстовых задач в школьном курсе математики.

В школьном курсе математики решение текстовых задач облегчит, если составить к ним схемы или таблицы. Я в данной работе хочу привести решение некоторых текстовых задач из школьного курса математики, а также из контрольно измерительных материалов ОГЭ, составлением краткой записи в виде таблиц или рисунка. В школьных учебниках эти задачи решены составлением уравнения или системы уравнений. С этой задачей не все учащиеся справляются. А если к задачам составить таблицу или схему ,то уравнение к ним легко составить

Краткие записи условия задачи в виде таблиц, рисунков, графиков, диаграмм и т.д., дают возможность одновременно видеть все связи между данными.

Схема краткой записи в виде таблицы:

Прочитав задачу, необходимо ответить на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие в виде таблицы:

1. Какими величинами характеризуется процесс в данной задаче?

2. Сколько процессов в задаче?

3. Какие величины известны, и что нужно найти? (Таблица заполняется данными задачи и ставится знак вопроса против той величины, которую надо найти)

4. Как связаны величины в задаче, какими формулами?

5. Обозначаем неизвестную величину за Х .

6. Какое условие нужно использовать для составления уравнения?

7. Легко ли решать полученное уравнение?

Рассмотрим пример составления такой краткой записи:

Проиллюстрируем это на примере следующих задач 6 кл. Тема: Прямая и обратная пропорциональности.

Задача1.Стальной шарик объемом 6 см^3 массу 46,8г.Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5см^3?

После составления таблицы очень легко составить пропорцию и решить задачу.

6:2,5=46,8:х

Х=46,8х2,5:6=19,5(г).

Ответ.19,5 г.

Задача 2. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 200 мин.За какое время 8 бульдозеров расчистили бы эту площадку?

Составим пропорцию для обратно пропорциональных величин.

5:8=Х:200

Х=5х200:8=125(мин)

Ответ.125 мин.

Схема краткой записи в виде рисунка

Очень часто в задаче на нахождение реальных неизвестных используются понятия из геометрии: площадь, периметр, прямоугольник.

Задача 3. Площадь участка, имеющий форму прямоугольника, равна 210 кв.м., а периметр равен 62 м.Найдите стороны участка.

Х м

С помощью таблицы составим два уравнения с двумя переменными:

Из уравнения 2х+2у=62 получим х+у=31 откуда х=31-у, подставив в первое уравнение вместо х получим (31-у)у=210.Получили квадратное уравнение, решив которого можно получить решение задачи.

у=10 и у=21, а х=21 и х=10.

Ответ.21м и 10м или 10м и 21м.

Рассмотрим еще одну задачу ,где используется прямоугольный треугольник.

Задача 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 84см,а его гипотенуза равна 37.Найдите площадь треугольника.

.

Х см

ууу У см

Пользуясь данными таблицы, составим уравнения для периметра и теоремы Пифагора.

х+у +37=84 х=47-у х1= 12,х2=35

x^2 + y^2=37^2 , (47-у)^2+y^2=1369, у1=35, у2=12

Решая систему уравнений ,можно найти катеты прямоугольного треугольника, а затем и площадь S=(12х35):2=210(см^2).

Ответ.210кв.см.

Рассмотрим стандартные задачи, которые можно решить не только с конкретными числами, но и в общем виде. Это позволит решить целый класс однотипных задач, отличающихся лишь числовыми значениями..

Задача 5. Через первую трубу бассейн наполняется за 20 ч, через вторую – за 30 ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти трубы?

1) Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу. Но можно также обозначить любой буквой (произвольной постоянной).

2) Производительность работы - это количество работы, выполненной за единицу времени.

Составим уравнение по таблице V/20+V/30=V/x или 1/20 +1/30 =1/x.решив это уравнение ,получим 5/60=1/x ,откуда x=12(ч.)

Ответ.12ч.

2. Примеры решения текстовых задач из

контрольно- измерительных материалов ОГЭ.

Решение задач с помощью уравнения, т.е. перенос данных задачи на математический язык с использованием замены неизвестных в задаче переменными называется моделированием. В краткой записи необходимо пояснять, какой переменной выражается определенный процесс задачи, а также указывать при каких значениях эта переменная имеет смысл. Кроме этого, делаются дополнительные записи соответствующих формул, на основании которых связываются величины в задаче.

1. Необходимо проверить корни уравнения к условиям задачи, выявив посторонние корни.

2. Записать полный ответ на поставленный вопрос задачи.

Задачи на движение.

Задачи на движение, как правило представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут быть пешеходы, велосипедисты, автомобили, лодки и так далее. Существует 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстречу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении. Доминирующими понятиями в таких задачах являются скорость(V), время(t) и расстояние(S) и формула, связывающая эти понятия:

S = V * t.

Задача.1Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Составим уравнение для задачи.

55/8-x -55/8+x=6

Решая уравнение ,получим корни Х1=3, Х2=-64/3( не удовлетворяет условию задачи).

Ответ.3км/ч.

 Задача 2. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

 Решение.

Обозначим через x км – расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до точки встречи. Тогда первый велосипедист проехал 286-x км. Время, которое потратил второй велосипедист в пути, составило   часов, а первого – 286-x/10+28/60 часа. Так как оба велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу, то к моменту их встречи они находились в пути одинаковое время. Имеем уравнение:

x/30=286-x/10+28/60.

Упрощаем, находим x, получаем: x=218

Ответ.218 км.

Большое количество задач – смешивание товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого компонента – можно рассмотреть в общем виде.

Задачи на смеси и сплавы.

Задача 3 . В сосуд ,содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества ,добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Составляем уравнение 9- 100%

1,35- Х% откуда Х=1,35х100:9=15(%)

Ответ.15%

Задача 4. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

1случай

2 случай

Решение.

Пусть x% - концентрация первого раствора и y% - концентрация второго раствора. По первой таблице получим следующее уравнение

12Х+8У=0,65х20

Также в задаче сказано, что при равных объемах растворов получается раствор 60% кислоты, то есть по второй таблице можно записать следующее уравнение1Х+1У=0,6х2

Получаем систему двух уравнений:

12Х+8У=0,65х20 Х=1,2-У У=0,35,откуда Х= 0,35х8=2,8

1Х+1У=0,6х2 12(1,2-У)+8У=13

Ответ.2,8кг

Задачи на совместную работу.

Задача 5. Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение. Обозначим через x деталей в час – производительность второго рабочего, тогда первый рабочий выполняет x+9 деталей в час. Известно, что 112 деталей первый выполняет быстрее, чем второй, то есть ,откуда Решаем квадратное уравнение, получаем:

Так как выработка не может быть отрицательным числом, получаем производительность второго рабочего 12 деталей в час.

Ответ: 12деталей в час.

Задачи на проценты.

Составим уравнение ,что сухое вещество в свежих и сухих фруктах одно и то 231 * 0,16 = 0,84хХ,откуда Х=36,96:0,84

Х=44
Ответ:44 кг.

Задача6.Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 9%.На сколько процентов десять таких же рубашек дороже куртки? Пусть цена одной рубашки х руб, а цена куртки-у руб.

Составим пропорцию 7х/y=91/100, откуда х/y=91/100:7=0,13=13%(составляет от цены куртки).Тогда стоимость 10рубашек будет 10х13=130%от цены куртки.

Тогда 10 рубашек дороже куртки на 130-100=30%.

Ответ.30%

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа была проделана с целью получения алгоритма решений и прочных навыков решения текстовых задач, изучаемых в рамках школьного курса математики, представленных в материалах Основного Государственного Экзамена.

Основные задачи, которые ставились перед началом работы, были выполнены. Разобраны и проанализированы основные виды текстовых задач базового уровня, разобраны задачи повышенной сложности, которые используются для подготовки к Основному Государственному Экзамену. Также составлен практикум решений текстовых задач по каждой классификации.

Таким образом, можно сделать вывод, что проделанная работа имеет большое значение для тех, кто собирается успешно сдать ОГЭ и может служить методическим материалом для внеурочной деятельности по математике для 9-11классов.

Список литературы.

1.А.В.Шевкин.Текстовые задачи по математике.

2.Математика 6 класс. Н.Я.Виленкин, В.и.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.

Издательство Мнемозина. Москва 2013г.

3.Алгебра 7 класс. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.Москва «Просвещение» 2017г.

4.Алгебра 8 класс. . Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.Москва «Просвещение» 2017г.

5. Алгебра 9 класс. . Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова.Москва «Просвещение» 2017г.

6.Основной государственный экзамен .Математика. Под редакцией И.ВЯщенко.

7.Математика.ЕГЭ-2010 под редакцией Ф.Ф.Лысенко и С.Ю.Кулабухова.

 Интернет – ресурсы:

1. http://alexlarin.net Ларин Александр Александрович. Математика. Репетитор.

2. http://reshuoge.ru "Решу ОГЭ" - образовательный портал

3. http://www.ctege.info ОГЭ. Подготовка к единому государственному экзамену в 2021году.