Основы логики, логические операции.

1. Формы мышления

В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Логика – это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или классов предметов, позволяющие отличать их от других.

Пример1 . Прямоугольник, проливной дождь, компьютер.

2. Основные понятия логики

Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 2 . Высказывание: «Сегодня хорошая погода». Высказывание будет истинное, если светит солнце, нет ветра, в противном случае – ложное.

Упражнение 1 (устно)

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

• Какой длины лента?
• Прослушайте сообщение.
• Делайте утреннюю зарядку!
• Назовите устройство вода информации
• Париж – столица Англии.
• Число 11 является простым.
• 4 + 5 =10
• Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
• Сложите числа 2 и 5.
• Некоторые медведи живут на севере.
• Все медведи – бурые.

Умозаключение - это форма мышления , с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Пример 3 Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний » путем умозаключений.

Утверждение – это суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.

Пример 4 . Сумма внутренних углов в треугольнике равна 180 градусов.

Рассуждение – это цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Пример 5 . Если хотите работать на компьютере, то необходимо его включить.

3. Логические выражения

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (например, А, В, Х, Y , т.д.).Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА или ЛОЖЬ (1 и 0).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение – F(A, B, …) .

Логические операции – логическое действие.

4. Логические операции

Операция

Обозначение

Инверсия

(логическое отрицание)

не А, Ā, ¬ А, not А,

Конъюнкция

(логическое умножение)

А и В, А&В, А  В, А and В, А  В

Дизъюнкция

(логическое сложение)

А или В, А  В, АVВ, А or В, А+В

Импликация

(логическое следование)

А  В, А  В

Эквиваленция

(логическое равенство)

А  В, А  В, А  В, А~В

5. Логика работы операций

А

В

0

¬ А

0

0

1

А  В

1

1

АVВ

1

0

0

1

0

А  В

0

0

А  В

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

 А  А

 (А & B )   А V  В

 (А V B )   А &  В

 (А  B )  А &  В

А  B   А V В

А  В  (А & B ) V (  А &  В)  (  А V В) & (А V  В)

A & (A V B)  А

A V A & B  А

 А & (A V B )   А & В

A V  A & B  А V В

A V A  А

A & A  А

6. Основные формулы преобразования логических выражений:

А V 1  1, А & 1  A ,  А V А  1

А & 0  0, А &  А  0

А  В  (А & В) V (  А &  В)

А  В  (А V  В) & (  А V В)

А  В  (А  В) & (В  А)

Законы коммутативности :

А V В  В V А

А & В  В & А

Законы ассоциативности:

(А V В) V С  А V (В V С)

(А & В) & С  А & (В & С)

Законы дистрибутивности :

А & (В V С)  (А & В) V (А & С)

А V (В & С)  (А V В) & (А V С)

3)  (Х 1) 6 2) 5 3) 3 4) 4 4 . Для какого из указанных значений Х истинно выражение (Х -6) V (Х 1) -10 2) -8 3) -6 4) -9 5 . Даны два простых высказывания А={53} и B ={2=3}. Какие их приведенных высказываний ложны: а) А б) В в) А&В г) А V В д) А  В е) А  В 6 . Найти значения логических выражений: а) (1 V 1) V (1 V 0) б) (1 & 0) V (1 & 1) V 1 " width="640"

Задания

1. Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква согласная  Вторая буква согласная?

1) Кирилл 2) Ксения 3) Павел 4) Михаил

2 . Для какого из названий животных ложно высказывание:

Четвертая буква гласная →  (Вторая буква согласная)?

1) Собака 2) Жираф 3) Верблюд 4) Страус

3 . Для какого из указанных значений Х истинно выражение (Х 3)  (Х

1) 6 2) 5 3) 3 4) 4

4 . Для какого из указанных значений Х истинно выражение (Х -6) V (Х

1) -10 2) -8 3) -6 4) -9

5 . Даны два простых высказывания А={53} и B ={2=3}.

Какие их приведенных высказываний ложны:

а) А б) В в) А&В г) А V В д) А  В е) А  В

6 . Найти значения логических выражений:

а) (1 V 1) V (1 V 0) б) (1 & 0) V (1 & 1) V 1

Соедините правильные определения или обозначения

А 1 

Б 2

В 3

Г 4

Д 5

Е 6 

Ж 7

З 8

И 9