Открытый урок «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Открытый урок алгебры в 9 классе.

Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цель урока: обобщить, систематизировать и расширить знания, закрепить умения и навыки учащихся при решении задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Задачи урока:

1. Обучающая – применение знаний к решению нестандартных задач, расширение кругозора по истории темы, использование знаний по теме в повседневной жизни; проверить полноту и осознанность усвоения знаний учащихся по теме.

2. Развивающая – формирование логического мышления, умения анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

3. Воспитательная – показать важность полученных знаний в жизни.

Тип урока: урок комплексного применения знаний (урок-практикум).

Формы работы:

• фронтальная;

• индивидуальная;

• работа в парах.

Оборудование: презентация, мультимедийный проектор, экран; компьютеры, раздаточный материал.

Используемые педагогические технологии:

• технология обучения математики на основе решения задач;

• технология уровневой дифференциации;

• технология проблемного обучения;

• игровые технологии;

• компьютерные технологии.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Нам, людям, свойственно искать

Закономерности в явлениях, нас окружающих.

И миру чисел исключением не стать:

Прогрессии – движенье мысли в умах рождающие,

Закономерности, которые нам надо постигать.

Сегодня на уроке лозунг нас зовёт:

«Прогрессио – движение вперёд!».

Мы начинаем наш урок.

Ваши глубокие познания прогрессии

Должны всех нас сегодня удивить.

Все устные задания

Вам нужно на одном дыхании решить.

Ведь формулы и определения известны нам теперь.

И в мир задач решения нам широко открыта дверь.

1. Систематизация знаний.

Сегодня на уроке мы будем решать практические задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Но, прежде чем мы приступим к их решению, необходимо вспомнить теоретический материал, на котором базируется решение задач.

Фронтальная работа с классом:

1. Дать определение арифметической и геометрической прогрессий.

2. Что называется разностью арифметической прогрессии?

3. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?

4. Какая последовательность называется возрастающей?

5. Какая последовательность называется убывающей?

6. Задание: Среди каждой группы формул выбрать верную (Слайды ).

7. Решите устно задачи (слайды ).

№1. Дано: ( ) – арифметическая прогрессия, =-2, = 4.

Найти: d- ?, - ?

№2. Дано: ( ) – геометрическая прогрессия, =2, = 1.

Найти: q- ?, - ?

№3. Дано: ( ) – арифметическая прогрессия, =-2, = 14.

Найти: - ?

№4. Дано: ( ) – геометрическая прогрессия, =1, = 2.

Найти: - ?

1. Определите вид прогрессии, соответствующий условию данной задачи. Объясните свой ответ.

• Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км в день. Он решил каждую неделю увеличивать дистанцию на одно и то же расстояние, так чтобы в одиннадцатую неделю пробегать 4 км в день. Найдите это расстояние.
  Ответ: Арифметическая прогрессия, так как дистанция увеличивается на одно и то же расстояние.

• Завод приобрел 5 электромоторов, мощности которых отличаются в одно и то же число раз. Рассчитать мощности трех средних моторов, если известно, что наименьшая мощность мотора 5 кВт, а наибольшая 13,72 кВт.
  Ответ: Геометрическая прогрессия, так как мощности моторов отличаются в одно и то же число раз.

• Каждый курильщик выкуривает в день в среднем 8 сигарет. После выкуривания первой сигареты в легких оседает 0,2 мг никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается на 0,001 мг. Какое количество вредных веществ оседает в легких за неделю?
  Ответ: Арифметическая прогрессия, так как количество вредных веществ увеличивается на одно и то же число.

1. Самостоятельная работа.

I уровень – математический диктант (с последующей проверкой).

II уровень – самостоятельная работа (с последующей взаимопроверкой).

III уровень – компьютерное тестирование.

I уровень. Математический диктант.

Учащимся раздаются карточки с формулами и некоторыми равенствами, лист для введения ответов на вопросы диктанта.

Лист ответа:

Количество правильных ответов: ________

Оценка: ______

Учитель:

1. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

3. Первый член арифметической прогрессии равен 6, пятый член равен - 6. Найти сумму первых пяти членов.

4. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

6. Первый член геометрической прогрессии равен 1, знаменатель равен -2. Найти сумму первых пяти членов.

7. Пример арифметической прогрессии.

8. Формула суммы n членов геометрической прогрессии.

9. Пример геометрической прогрессии.

10. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Проверка выполнения работы

Критерии оценок:

«5» - 10 правильных ответов

«4» - 8-9 правильных ответов

«3» - 5-7 правильных ответов

«2» - менее 5 правильных ответов

II уровень. Самостоятельная работа (в двух вариантах).

Взаимопроверка:

«5» - 8 баллов;

«4» - 6 – 7 баллов;

«3» - 4 – 5 баллов;

«2» - меньше 4 баллов.

III уровень. Компьютерное тестирование (оценки выставляет компьютер).

1. Игровая разминка.

На экране записано 20 чисел:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40. 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учитель стоит спиной к экрану. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Потом он предлагает учащимся объяснить, как ему это удаётся. (Учитель помнит формулу n-го члена а=3n -2).

1. Решение задач.

Представьте, что вы располагаете некоторой суммой и хотите положить ее в банк на три года на вклад, по которому начисляется 10% годовых. У вас есть возможность ежегодно получать проценты по вкладу. Как в этом случае будет расти ваш доход?

Ответ: Доход будет расти в арифметической прогрессии, так как ежегодно сумма дохода будет увеличиваться на одну и ту же сумму (10% от вклада).

В этом случае мы имеем простые проценты – это прообраз арифметической прогрессии. Постоянно за определённый промежуток времени (месяц, год) начисляется одна и та же сумма денег, определённая количеством процентов.

Другая ситуация, вы не снимаете ежегодно проценты по вкладу, а по истечении трех лет забираете деньги. Можно ли в этом случае связать проценты с прогрессией и какой?

Решим следующую задачу:

Начальный вклад клиента Сбербанка составил 10 000 рублей. Зная, что процентная ставка сбербанка 10%, определить, какая сумма будет на счете этого клиента: а) через год; б) через 2 года; в) через 3 года; г) через 10 лет.

Учащиеся без затруднений находят решение для задач а), б) и в), а при решении задачи г) у них возникает затруднение, т.к. они понимают, что их ждут огромные вычисления.

Учитель: Почему последняя задача вызывает у вас трудности?

(ответ: долго считать)

Учитель: А нельзя ли упростить процесс решения, сделать его менее трудоемким. Не находить суммы на счете за все предшествующие годы, а сразу получить выражение для этой суммы через 10 лет?

Учащиеся начинают выдвигать гипотезы, если таковых не оказывается, целесообразно рассмотреть дополнительную задачу, где учащиеся будут оперировать не чисто числовыми выражениями, а выражениями с переменной. Возможно, здесь легче увидеть некоторую закономерность. А затем вернемся к решению первой задачи под г).

Задача: Каждая линза в сложном объективе снижает световой поток на 5%. Сколько процентов светового потока останется после прохождения: одной линзы, двух линз, четырех линз?

Решение. Пусть х – количество светового потока.

5% от х – это 0,05х.

Тогда после прохождения одной линзы останется х – 0,05х = 0,95х.

5% от 0,95х – это 0,05*0,95х.

Тогда после прохождения второй линзы останется

0,95х – 0,05*0,95х = 0,95х*(1 – 0,05) = 0,95² х.

Рассуждая аналогично, приходим к следующему результату:

0,95⁴ х – количество светового потока после прохождения четвертой линзы.

0,95⁴ х 0,8145 х или 81% светового потока.

Учитель: Ну что, заметили закономерность? Попробуйте сформулировать ее и записать формулой.

Учащиеся: каждая следующая величина изменяется в одно и тоже число раз, т.е. это геометрическая прогрессия.

Учитель: А что является знаменателем этой геометрической прогрессии?

Учащиеся: Знаменателем прогрессии является 1 – р (для убывающей прогрессии) или 1 + р (для возрастающей прогрессии), если р – это десятичное выражение процентного числа.

Учитель: Попробуем теперь записать формулу для решения таких задач.

ⁿ

Учитель: Теперь вернемся к первой задаче.

Нам надо найти b₁₀.

b₁₀ = 10000 (1 + )¹⁰ = 10000*1,1¹⁰ = 10000*2,59374246 259 37,42 руб.

Учитель: Такие проценты называют сложными – и здесь дело мы имеем с геометрической прогрессией.

Задача. На начало года товар стоил 200 руб. К концу каждого полугодия его цена увеличивалась на 5%. Сколько будет стоить товар к началу следующего года?

Ответ: 231,53 руб.

В наше время очень важно разбираться в процентных ставках банков, если вы хотите, как говориться, прогадать.

Для сравнения, рассмотрим следующую задачу:

Пусть имеется сумма 100 у.е.

Есть три банка, в которые можно положить деньги:

1 банк – простые проценты, из расчёта 3% в месяц.

2 банк – под простые проценты, из расчёта 40% в год.

3 банк – под сложные проценты, из расчёта 30% в год.

Мы хотим положить деньги на три года.

В каком банке это наиболее выгодно?

Класс делиться на три группы (три банка). Каждая группа решает свою задачу.

В процессе решения учитель оказывает консультативную помощь группам.

1 банк каждый месяц начисляет ³/₁₀₀ от суммы 100,

то есть а₁=100, d=0,03·100=3, n=37 (количество месяцев).

2 банк каждый год начисляет 0,4 от суммы 100 у.е., то есть

а₁=100, d=0,4·100=40, n=4.

Под а₁ – понимается сумма на начало года, поэтому

a₄ – это сумма на конец третьего года.

3 банк даёт 30% в год. Это значит, что каждый год сумма увеличивается в 1,3 раза.

100%+30%. Здесь мы имеем дело с геометрической прогрессией.

b₁=100, q=1,3, n=4.

Результаты подсчетов:

a₃₇= 208 у.е.

a₄= 220 у.е.

b₄=219,7 у.е.

По окончании все результаты выводятся на экран и делается вывод, что выгоднее положить деньги во второй банк.

Учитель: «Дома произведите расчёты, если вложить деньги на 5 лет».

(Выгоднее в 3-м банке).

1. Домашнее задание.

1. Найти задачи, связанные с арифметической и геометрической прогрессией из различных областей: физики, медицины и т.д.

2. Решить задачу на проценты в банке (рассмотренную в классе), если вложить деньги в банк на 5 лет.

1. Итог урока.

1. В течение урока мы повторили основные формулы арифметической и геометрической прогрессий.

2. Решали нестандартные задачи, решение которых облегчает знание формул арифметической и геометрической прогрессий.

3. Оценка работы учащихся на уроке.

1. Рефлексия.

• Сегодня на уроке я узнал(а) …

• Мне еще надо повторить …

Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!

Спасибо за урок! До новых встреч!