Открытый урок "Логарифмы"

Урок систематизации и обобщения знаний

по теме «Логарифмы»

Образовательные цели:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме

• повторить свойства логарифма и логарифмической функции;

• повторить способы решения логарифмических уравнений и неравенств;

• закрепить навыки и умения применения знаний по теме к решению упражнений.

Развивающие цели:

• развивать познавательный интерес, навыки коллективной работы;

• применить сформированные знания, умения и навыки в новых ситуациях;

• сформировать навыки взаимоконтроля и самоконтроля.

Воспитательные цели:

• воспитать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей и коллективной работы;

• прививать желание иметь качественные, глубокие знания, доводить дело до конца.

Тип урока: урок систематизации знаний.

1. Сообщение темы, целей урока.

2. Проверка знаний фактического материала (теории и практики).

3. Применение знаний в различных конкретных ситуациях.

4. Самостоятельная работа (проверочный тест).

5. Проверка, анализ, оценка самостоятельно выполненных заданий.

6. Сообщение домашнего задания.

7. Итог урока.

1. Сообщение темы, целей урока, умений, которые должны быть сформированы у учащихся, (слайд 1, 2, 3).

2. Проверка знаний фактического материала (теории). Показ слайдов демонстрационной презентации с четкими формулировками:

• слайд 5 - определение логарифма: обратить внимание на то, какие значения может принимать число в и основание а; основное логарифмическое тождество;

• слайд 6 – свойства логарифмов;

• слайд 7 – свойства монотонности;

• слайд 8 – десятичные, натуральные логарифмы;

• слайд 9, 10 – логарифмирование алгебраических, потенцирование логарифмических выражений

1. Применение знаний в различных конкретных ситуациях.

1) Устная фронтальная работа (актуализация базовых знаний).(слайд 11 - 14)

За каждый правильный ответ ученик начисляет себе 1 балл. Критерии оценки: «5» - 22-23 балла; «4» - 18-21 балл; «3» - 10 - 17баллов.

• При каких значениях х имеет смысл функция:

1) у = log₃ х² ; 2) у = log₅ (- х); 3) у = log_1/2 (3 – х); 4) у = lg (4 – х²); 5) у = lg |x|.

• Совпадают ли графики функций:

1) у = х и у = ; 2) y = x² + 1 и y =

• Решить уравнение:

1) log₅ х² = 0;

2) log₃ 3^х = 4;

3) log₃ х – 1 = 0;

4) log₂ (2х – 1) = 3;

5) log₃ (2х – 3) – 1 = 0;

6) log₅(2х – х²) = 0;

7) log_0,7 (2х + 1) = log_0,7 (х -1)

• Задание с ключом.

Этот прием, пришедший к нам из программирования, состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет – «0». В результате у вас должно получиться число.

1. Если lg x = lg y, то x = y.

2. 

3. 

4. Если , то х = у.

5. Если 3² = 9, то

6. Область определения функции промежуток (0; 3,5).

7. lg7

8. Если , то x c при 0 a

9. Выражение справедливо для любого х.

Ключ: 101000100.

• Прологарифмировать алгебраическое выражение

1. ; 2. 3.

• Найти х:

1. lg x = lg a + 2lg b – lg c

2. lg x = lh d + 3lg c - 4lg b

3. lg x = lg 5 – lg 2 + lg 6

4. lg x = 2lg 3 + 3lg 5 – 5lg 3

• К акие из следующих графиков не могут быть графиком функции ? (Слайд 10)

• Н а одном из рисунков изображен эскиз графика функции Укажите номер этого рисунка.

2) Выполнение заданий на доске и в тетрадях.

Рассмотрим различные примеры применения знаний, полученных на предыдущих уроках при решении уравнений, неравенств, систем.

Напомним основные методы решения логарифмических уравнений: (слайд 15)

• Функционально-графический метод;

• Метод потенцирования;

• Метод введения новой переменной;

• Метод логарифмирования.

Помни про О.Д.З. (слайд 16)

№1. Решите уравнение. (слайд 17)

lg(1 – x²) = lg 2x О.Д.З. (0;1) метод потенцирования. Ответ: х =

метод логарифмирования. Ответ: х =1; х = 2.

№ 2 Найдите область определения функции (слайд 17)

х = ± 1, х = -2

Ответ: (-2;-1]; [1; + ∞)

№ 3. Решите систему уравнений (слайд 17)

log₃x = a, 5^y = b b 0

a = 4 – b, 10 = 2b² – 8b, b² – 4b – 5 = 0 b = 5, b = -1(пост. кор.)

a = -1,

1) log₃x = -1, 5^y = 5 х = 1/3, у = 1.

Данная система предлагалась на вступительных экзаменах в 2004 году в МГУ на факультет вычислительной математики и кибернетики.

№ 4. Найдите наименьшее значение функции y = lg (x² + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] (слайд 17)

Решение:

Функция, непрерывная на отрезке, принимает наименьшее значение в критических точках принадлежащих данному отрезку или на концах этого отрезка.

Вычислим производную данной функции

у¹ = (lg (x² + 5x + 7,25) + 2)¹ =

Найдем критические точки, решив уравнение у¹ = 0

, 2х +5 = 0, х = - 2,5 - 2,5 [-3; 0]

Вычисляя значения функции в критической точке и на концах данного отрезка, получим

y(-3) = lg (9 – 15 + 7,25) + 2 = 2 + lg1,25

y(0) = 2 + lg7,25 ,

y(-2,5) = lg (6,25 – 12,5 + 7,25) + 2 = 2

следовательно, наименьшее значение функции y = lg (x² + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] равно 2

Ответ: 2

4. Самостоятельная работа (проверочный тест). Критерии оценки: «5» - 9-10 баллов; «4» - 7- 8 баллов; «3» - 5- 6 баллов.

Проверочный тест.

 1. Вычислите . 1) 28 2) 13 3) 75 4) 30

2. Вычислите 1) 0 2) 1 3) 4 4) 8

3. Вычислите . 1) 7 2) - 2 3) - 1 4) 1

4. Вычислите . 1) 45 2) 49 3) 47 4) 49 -

5. Найдите значение выражения . 1) 3,5 2) ln 32 3) ln 124 4) 32

6. Укажите значение выражения . 1) 2) 10 3) 100 4)

7. Решите уравнение 1) ± 7 2) 3) 4) Ø

8. Решите неравенство . 1) (1; 1,25) 2) (1; + ∞) 3) (1,25; + ∞) 4) (- ∞; 1,25)

9. Найдите область определения функции .

1) (0; 9); (9; + ∞) 2) 9 3) (0; + ∞) 4) (1; + ∞)

10. Укажите область значений функции

1) (0; + ∞) 2) (- ∞ 7) 3) (7; + ∞) 4) (- ∞ + ∞)

Ответы к тесту: (слайд 18)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 1 3 3 1 4 4 3 1 4

5. Проверка, анализ, оценка самостоятельно выполненных заданий.

6. Сообщение домашнего задания.

1. Решить уравнение log₄ (x + 12) log_x2 = 1

2. Найдите наименьшее значение функции у = 7е^3+2х – 10,4 на отрезке [0; 1,5]

7. Итог урока.

Проверочный тест.

 1. Вычислите .

1) 28 2) 13 3) 75 4) 30

2. Вычислите

1) 0 2) 1 3) 4 4) 8

3. Вычислите .

1) 7 2) - 2 3) - 1 4) 1

4. Вычислите .

1) 45 2) 49 3) 47 4) 49 -

5. Найдите значение выражения .

1) 3,5 2) ln 32 3) ln 124 4) 32

6. Укажите значение выражения .

1) 2) 10 3) 100 4)

7. Решите уравнение

1) ± 7 2) 3) 4) Ø

8. Решите неравенство .

1) (1; 1,25) 2) (1; + ∞) 3) (1,25; + ∞) 4) (- ∞; 1,25)

9. Найдите область определения функции .

1) (0; 9); (9; + ∞) 2) 9 3) (0; + ∞) 4) (1; + ∞)

10. Укажите область значений функции

1) (0; + ∞) 2) (- ∞ 7) 3) (7; + ∞) 4) (- ∞ + ∞)