Открытый урок по дисциплине Математика по теме: «О, функция, как ты важна!»

ПЛАН ОТКРЫТОГО УРОКА

по дисциплине «Математика»

по теме: «О, функция, как ты важна!»

Преподавателя Бойко Екатерины Владимировны

Тема занятия: «О, функция, как ты важна!».

Тип урока: Урок введения нового материала.

Цели занятия

Обучающая: Ввести понятие показательной, логарифмической и тригонометрической функций.

Развивающая: Развивать способность к логическому мышлению; интерес к истории математики и ее приложениям.

Воспитательная: Воспитывать способность к сотрудничеству в коллективной деятельности.

Форма урока: Комбинированный урок с работой на ПЭВМ.

Межпредметная связь: Спец. предметы.

Время: 90 мин.

Оборудование: ПЭВМ, наглядные материалы по темам «Показательная функция», «Логарифмическая функция», «Тригонометрические функции».

План занятия:

1. Постановка целей урока перед студентами.

2. Вводное слово преподавателя.

3. Представление показательной функции.

4. Представление логарифмической функции.

5. Представление тригонометрической функции y=sin x.

6. Выполнение тестового задания

7. Подведение итогов.

Ход урока:

1. Постановка целей урока перед студентами.

Цель занятия: сегодня мы проводим смотр-конкурс агитбригад «О, функция, как ты важна!». Задача каждой команды в течение 20 минут «представить» выбранную функцию.

2. Вводное слово преподавателя.

Функция – одно из основных математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи.

Например, в соотношении у = х геодезист или геометр увидят зависимость площади квадрата от его стороны, а авиаконструктор или кораблестроитель может установить в нем зависимость силы у сопротивления воздуха от скорости х движения. Математик же изучает зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение х в два раза приведет к увеличению у в 4 раза, и это заключение может применяться в конкретной ситуации.

В курсе математики изучается немало функций: линейная, степенная, показательная, логарифмическая. Тригонометрические функции.

Постарайтесь доказать, что выбранная вами функция самая важная и интересная.

1. Представление логарифмической функции.

Подсудимый. Встать, суд идет.

Прошу всех сесть.

Это человек утверждает,

Что логарифмы не нужны

И их не применяют.

Слово предоставляю прокурору:

Объясните суть спора.

Прокурор. Наш подсудимый глупо рассуждает,

Истории, к тому же он не знает!

Веками люди над их открытием трудились,

Облегчить вычисления стремились

С тем логарифм и был изобретен,

И функция придумана потом.

Одни таблицы что Непера стоят.

Компьютеры на чьей основе строят?

Линейка им прабабушкой была,

И сколько людям в жизни помогла!

Судья. Свидетелям теперь я слово представляю,

Их показанья без вниманья не оставлю.

Свидетель. Друзья, поверьте:

Самая интересная, полезная и лирическая

Это – функция логарифмическая.

Спросите вы: «А чем интересна?».

А тем, что обратна она показательной

И относительно прямой у = х, как известно.

Симметричны их графики обязательно.

Проходит график через точку (1;0)

И в том ещё у графика есть соль,

Что в правой полуплоскости он «стелется».

А в левую попасть надеется.

Но если аргументы поменяем,

Тогда по правилам кривую мы сдвигаем,

Растягиваем, если надо, иль сжимаем

И относительно осей отображаем.

Сама же функция порою убывает,

Порою по команде возрастает.

А командиром служит ей значенье а,

И подчиняется ему всегда.

Теперь полезность мы вам четко обоснуем

И яркую картину нарисуем.

Вот вы когда-нибудь слыхали

О логарифмической спирали?

Закручены по ней рога козлов

И не найдете вы на них нигде узлов.

Моллюсков многих и улиток

Ракушки тоже все завиты.

И как сказал поэт великий Гете:

«Вы совершеннее строенья не найдете!»

И эту спираль мы повсюду встречаем:

К примеру, ножи в механизме вращая,

В изгибе трубы мы её обнаружим –

Турбины тогда максимально послужат!

В подсолнухе семечки тоже закручены,

И паука все плетенья закручены,

Наверняка, и о том вы не знали,

Галактики тоже кружат по спирали!

Подсудимый (вскакивая с места).

Как не прав я был, друзья,

Утверждая смело:

«Логарифмы – ерунда,

Не нужны для дела!»

Логарифмы – это все!

Музыка и звуки!

И без них никак нельзя

Обойтись в науке!

Проводится презентация логарифмической функции на компьютерах.

4. Представление показательной функции.

Слушайте, слушайте, слушайте внимательно!

И тогда признаете обязательно: самая важная – функция показательная!

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243000000000000000 или приблизительно 2000 растений на 1 квадратный метр суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только одной самки может составить 800000000000000. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемых показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем t согласно формуле

T = T + (100 – T)ּе^-кT .

Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

1. Вы слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции.

Ведущий. Ну, что убедились, что мы победили?

Теперь признаете за нами право

Ее описать поведенье и нравы?

Функция. Я и сама могу сказать

И график свой вам показать.

Хоть нет названья линии моей,

И нет, как у параболы ветвей,

Я – положительна! И это всем вам видно

И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно.

Вторым концом я устремляюсь ввысь!

А, ну-ка степенная, доберись!

Давно сравнили нашу скорость роста,

Ты по сравнению со мной – малютка просто!

Собеседник. Скучна ты, часто говорят,

И «монотонной» называют,

Что график твой «не держит взгляд»,

Симметрией нет в нем – отмечают.

Функция. Да, монотонна я, это правда:

То возрастаю, то «спускаюсь» вниз,

Но помнить вам о том еще бы надо,

Что в свойстве этом есть один сюрприз.

Я – обратима! Это ли не счастье –

В логарифмическую обратиться в одночасье.

И симметричны наши графики бывают,

Когда меж нами биссектриса пробегает

По первому и третьему на плоскости углам,

Давая шанс симметрию познать и нам!

Собеседник. Да, доказать сумела ты свою красу,

Но свой последний я вопрос произнесу:

Имеешь ли особенную точку,

С которой имя свяжется твое?

Скажи, коль есть, о ней последней строчкой

И укроти тем любопытство ты мое!

Функция. О да, то точки нуль и единица.

И хоть мой график быстро вверх стремится,

В любом он случае через нее проходит –

Она все графики в пучок единый сводит!

Собеседник. Спасибо, нам ты очень помогла

Тем, что о себе здесь речь произнесла.

Теперь, наверно, всем присутствующим в зале

Твою полезность мы отлично доказали.

Историю пора представить нам немного,

События расставим по порядку строго.

1. Вы знаете, еще 40 веков назад

В египетском папирусе записан ряд.

Про семь домов, где кошек 49,

И каждая из них по 7 мышей съедает

И тем всем столько зерен сохраняет,

Что мер 17000 составляет.

Мы объяснили факт немножко,

Священна почему в Египте кошка.

1. О том еще известна нам легенда,

Что как-то у арабского царя

Изобретатель шахматной доски, наверно,

Потребовал за доску ту зерна.

Причем за клетку первую – зерно,

А за вторую – два просил изобретатель,

За третью – снова больше раза в два,

Немало времени царь на подсчеты потратил.

Когда же подсчитали – прослезились:

Число двадцатизначно получилось!

Хватило б зернами засеять нам всю сушу

И миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

1. Все знают, что такое ростовщик.

Тот человек проценты брать привык.

Они встречались в Вавилоне древнем,

Где пятую часть «лихвы» взимали в среднем!

1. Пятнадцатый век – рожденье банков,

Дающих деньги людям под процент,

Тогда и встал вопрос довольно ярко

О дробном показателе, сомненья нет.

1. Его развили математик Штифель,

Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон.

И в завершении Бернулли Иоганном

Был термин «показательной» введен.

На множестве всех чисел он ее нам ввел,

Как открыватель функции в историю вошел.

Ведущий. Итак, показательная функция

Не случайно родилась,

В жизнь органически влилась

И движением прогресса занялась.

Проводится презентация показательной функции на компьютере.

5. Представление тригонометрической функции у = sin х.

1. Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах.

Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами.

1. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т.д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры.

2. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, передачу по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая их, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере академик Вернадский: «Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва, вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины – от волн, длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных, измеряемых километрами».

3. Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе.

4. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и станок разбалтывается. А самое страшное – под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой «усталости» и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случай падения моста, по которому шло в ногу воинское под разделение, а также разрушение мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт.

5. Таким образом, отметим, что колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они могут превратиться в опасного врага. Поэтому надо уметь изучать колебания, знать их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись.

Еще в четвертом веке у индейцев,

В астрономических трудах,

Встречалось синуса понятье

Пока в одной – не разных четвертях.

Они назвали «дживой» хорду;

Что означает «тетива»,

И эту хорду, после половинку,

За синус принимали все сперва.

Потом арабы слово исказили,

Назвали хорду они словом «джайб»,

А переводом «пазуха», «карман» ей были

Иль «выпуклость» - то знал тогда и раб.

Затем названье на латинский дали

И это был двенадцатый уж век,

Тогда-то джайб и «синусом» назвали,

И слово взял в работу человек.

Символику английский математик

В семнадцатом столетье предложил.

Фамилия – Норвуд, он много лет потратил

И много сил с треугольниками связан,

Предложено обозначенье: S,

Но больше Эйлеру научный мир обязан:

Французский математик Жиль Пирсон

Впервые синусоиду построил.

С циклоидой тогда возился он,

А заодно и графиком всех удостоил.

Затем явился сам Декарт,

А с ним и «Геометрия» -

Его известный всем трактат –

И взлет тригонометрии!

Джон Валлис график начертил

И сделал полных два при этом оборота,

В труде «Механика» он твердо заявил,

Что бесконечно надо повторить работу.

Вот так, в различных странах и веках,

Понятье синуса с трудом рождалось

И умолчать не можем мы никак,

Какое знанье нам в наследие досталось.

Возьми единичную окружность

И точку по ней начни вращать.

При этом ординату только нужно

Тебе у точки каждой отмечать.

Теперь ты зафиксируй точку где-то

И сделай потом полный оборот,

Заметишь синус функции при этом

Значенье прежнее, конечно, обретет.

А если угол поворота будет разный

(по знаку, а по модулю один),

То тоже, ты увидишь сразу,

Что знаком синусы лишь отличаются одним.

(sin (-х) = -sin х; y = sin х – нечетная).

График функции – вот такая кривая!

Посмотрите, красивая какая!

«Синусоидой» она называется

И с нуля в свой поход отправляется.

Значения функции не всякие бывают,

И «ограниченным» все синус называют.

Есть максимальное значенье – единица

И много раз к ней «синус икс» стремится!

Аналогично, минимумы есть

И тоже их у функции не счесть!

Нередко график ось Ох пересекает,

То в точках вида п на п бывает.

(sin х = 0, если х = пп, п z).

И свойства функции могли б мы продолжать

Еще минут пятнадцать называть.

Но все присутствующие в зале

Уже, наверное, устали.

Затем проводится презентация на компьютере.

1. Выполнение тестового задания по теме: «Функции и их графики».

Для закрепления материала студенты выполняют на компьютерах в течении 15 минут итоговый тест.

1. Подведение итогов.

При подведении итогов смотра-конкурса учитываются следующие факторы: научность; историзм; убедительность; доказательство полезности функции; наглядность; разнообразие жанров; полнота представленного материала.