Россия, Пермь
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 27.09.2025 17:56
Мелехина Галина Васильевна
Учитель математики и информатики
53 года
50 872
388 
Местоположение
Специализация
Открытый урок по теме "Решение логарифмических неравенств", 11 класс.
Категория:
Математика
17.07.2016 14:53
Просмотр содержимого документа
«1. Опорный конспект - Виды неравенств и их решение»
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»
| Вид неравенства | Решение |
| Линейные | |
| Квадратичные
| Графический метод: 1.Находим корни уравнения 2.Строим на координатной прямой модель параболы (a 0, ветви вверх; а 3.Записываем промежутки в ответ. |
| Рациональные f(x) 0, f(x) где f(x) – рациональное выражение. Частные случаи:
{n – чётное, знаки не меняются} | Метод интервалов: 1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно. |
| Содержащие чётную степень: 1)
|
|
| Содержащие нечётную степень
|
|
| Иррациональные с чётной степенью
|
|
| Иррациональные с нечётной степенью
|
|
| Показательные |
|
| Логарифмические |
|
| Тригонометрические: | При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции |
| С модулем: 1) |x| a 2) |x|a | 1) -a 2) |
Просмотр содержимого документа
«4. Опорный конспект -Логарифмы »
Опорный конспект №4
«Понятие логарифма. Логарифмическая функция»
Определение:
Л
огарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а, чтобы получить b.
О
сновные логарифмические тождества:
С
войства логарифмов: Особые свойства:
Логарифмическая функция: , где
Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта»
Технологическая карта урока
| Автор |
Мелехина Галина Васильевна, учитель математики МАОУ «Платошинская средняя школа». | |
| Предмет | Математика | |
| Класс | 11 (профильная группа) | |
| Тип урока | Урок повторения, систематизации и дополнения знаний. | |
| Форма урока | Урок-практикум с элементами исследования. | |
| Формы организации учебной деятельности | Фронтальная, коллективная, парная. | |
| Техническое обеспечение | Компьютер, проектор, презентация. | |
| Методы обучения | Частично-поисковый, рефлексивный. | |
| Тема | Решение логарифмических неравенств. Метод рационализации. | |
| Цели | Образовательные: закрепление и систематизация знаний о логарифмических неравенствах. Развивающие: формирование у учащихся навыков решения логарифмических неравенств различными методами, применение знаний при решении заданий С3 ЕГЭ, развитие умений нахождения рационального способа решения, формирование УУД. Воспитательные: воспитание уверенности, культуры устной и письменной речи, ответственности, интереса к предмету. | |
| Литература |
| |
| Планируемые результаты | ||
| Предметные умения: 1.Знание различных методов решения логарифмических неравенств: -сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем; -расщепление неравенств; -метод интервалов; -введение новой переменной; -метод рационализации.
| Личностные УУД: - самоопределение; определять правила работы в парах; - применять волевую саморегуляцию (мобилизация на решение проблемы); - устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом. Регулятивные УУД: - определять и формулировать цель деятельности на уроке; - проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану, инструкции; - высказывать свое предположение на основе учебного материала; - осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль; - уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им. Познавательные УУД: - находить ответы на вопросы поставленные учителем; - проводить анализ учебного материала; - проводить, сравнение, классификацию, указывая на основания классификации; - создавать и преобразовывать модели и схемы для решения неравенств; - находить рациональные методы решения. Коммуникативные УУД: - слушать и понимать речь других; - умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; - владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. | |
Дидактические задачи этапов урока
| Этапы урока | Время | Дидактические задачи |
| Организационный момент | 1 мин | Обеспечение комфортных условий для работы на уроке: создание благоприятной психологической атмосферы, настрой на совместную работу. |
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | 1 мин | Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности. Создание условий для формулировки цели урока и постановки учебных задач. |
| Повторение теоретической базы | 4 мин | Обеспечение восприятия, осмысления и запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения. |
| Актуализация опорных знаний | 8 мин | Активизация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов. |
| Практикум по решению неравенств | 10 мин | Систематизация умений применять различные методы решения неравенства, построение алгоритма решения. |
| Исследование | 10 мин | Постановка проблемы, осмысление, вывод нового знания. |
| Первичное закрепление | 8 мин | Первичный контроль усвоения нового знания, коррекция усвоения. |
| Рефлексия учебной деятельности | 2 мин | Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями. |
| Итог урока | 1 мин | Постановка учебной задачи для домашнего задания. |
Технология изучения
| Этапы урока | Формируемые умения | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
| Организационный момент | Личностные УУД: самоопределение | Девиз: «Секрет успеха - в мелочах» Вопрос: Какого успеха хотели бы вы добиться и от каких мелочей он будет зависеть? (сл. №1) | Учащиеся отвечают на вопрос. |
| Постановка учебных целей, формулировка темы урока | Регулятивные УУД: уметь определять и формулировать цель деятельности на уроке. Коммуникативные УУД: четко и ясно излагать свои мысли.
| Анализ домашнего задания. - Какие виды неравенств вызвали наибольшие затруднения? Назовите причины. - Как справиться с проблемой? - Остановимся сегодня на неравенствах, содержащих логарифмические выражения. - Опираясь на наш девиз, сформулируйте тему и цель урока. Учитель, если нужно, корректирует ответы учащихся. - Запишите число и тему урока в тетради.
| (сл. №2) Учащиеся отвечают на вопросы. Учащиеся предлагают свои варианты и проговаривают тему и цели урока. Тема: «Решение логарифмических неравенств». Цели:
|
| Повторение теоретической базы | Регулятивные УУД: адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий; уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им.
| (сл. №3) Учитель предлагает вспомнить:
|
+ знаю - не знаю
Время выполнения – 4 мин.
|
| Актуализация опорных знаний | Регулятивные УУД: - контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; - коррекция — внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата.
| (сл. №4 - 6) Учитель предлагает выполнить задания для закрепления теоретического материала:
а) 4 б) 0 в) - 5
|
Время выполнения – 8 мин. |
| Практикум по решению неравенств | Познавательные УУД: создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач; строить логическое рассуждение. осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения; использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей; умение выражать мысли, в письменной и устной форме. работать в парах — устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать и способствовать формированию выраженной устойчивой учебно-познавательной мотивации и интереса к учению.
Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом равносильного перехода, расщепления неравенств, методом интервалов, введения новой переменно. | - Вторая цель урока: вспомнить методы решения логарифмических неравенств. (сл №7) З - Запишите модель решения простого логарифмического неравенства: Р (сл. №8) Задание: Вам предстоит решить 5 неравенств разными методами. От чего зависит успех решения неравенства? - Успех решения зависит от того, видим ли мы план решения. - Я предлагаю каждой паре выбрать одно неравенство и составить (устно) план решения этого неравенства, а потом озвучить его так, чтобы остальные справились с этим неравенством самостоятельно. На слайде есть подсказки. Время составления плана – 1 минута. - Решите неравенства самостоятельно.
Время выполнения – 10 мин.
П
|
Устно отвечают на вопрос.
Записывают в тетрадь модель.
Работа в парах
Отвечают на вопрос.
Учащиеся в группах обсуждают и составляют план решения одного неравенства.
Рассказывают план решения.
Решают неравенства самостоятельно предложенным способом. Задают вопросы учителю (если возникли).
Самопроверка (сравнение с образцом на слайде).
Заполняют лист самоконтроля (блок «Практикум по решению неравенств»).
|
| Исследование | Логические универсальные действия: — анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, и несущественных); — синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; — выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов; — подведение под понятие, выведение следствий; — установление причинно-следственных связей; — построение логической цепи рассуждений; — доказательство; — выдвижение гипотез и их обоснование.
|
- Вернёмся к домашнему заданию, неравенство №14 у вас вызвало затруднение? - Давайте попробуем вместе составить план решения этого неравенства. (сл. № 14)
- Есть другой способ, который позволяет освободиться от логарифма в неравенстве. Он называется – метод рационализации. Этот метод основан на серии теорем, сегодня мы познакомимся с одной из них. Теорема на слайде. Докажем теорему. (сл №15)
-
|
Учащиеся вместе с учителем обговаривают план решения неравенства.
Учащиеся записывают теорему в тетрадь. Вместе с учителем обсуждают доказательство теоремы, делают записи в тетради.
Учащиеся формулируют вывод: (сл №16)
|
| Первичное закрепление | Предметные результаты: Решение логарифмических неравенств методом рационализации; анализ и сравнение методов решения; закрепление знаний во внешней речи и знаковой форме. | Задания для закрепления: - Решите неравенства новым рациональным методом.
Время выполнения 8 мин. | Учащиеся решают уравнения методом рационализации и проверяют решения по образцу, корректируют решения. (сл. №17) З |
| Рефлексия учебной деятельности
| Коммуникативные УУД: уметь устно выражать свои мысли. ЛичностныеУУД: устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом. Регулятивные УУД: выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить. | Учитель предлагает учащимся оценить свою работу на уроке:
(сл. №18)
| Учащиеся отвечают на вопросы и задают интересующие вопросы по данному уроку учителю.
Учащиеся выставляют отметки в дневники.
|
| Итог урока |
| - Какие цели урока выполнили? - Какие дальнейшие планы? -
| Учащиеся анализируют цели урока. Проговаривают план дальнейших действий. Записывают домашнее задание. |
адание: дополните предложение:
абота в парах
роверка: сл. № 9 – 13.
сделайте вывод, для чего мы доказали эту теорему?
аполняют лист самоконтроля (блок «Первичное закрепление метода рационализации»).
Запишите домашнее задание: решите неравенства новым методом.
Просмотр содержимого документа
«2. Опорный конспект - Равносильные преобразования»
Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств»
Определение: два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают.
Равносильные преобразования:
если обе части неравенства f(x) g(x) умножить на выражение h(x), положительное при всех Х из ОДЗ неравенства, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство f(x)h(x) g(x)h(x), равносильное данному;
если обе части неравенства f(x) g(x) умножить на выражение h(x), отрицательное при всех Х из ОДЗ неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x)h(x) g(x)h(x), равносильное данному;
если обе части неравенства f(x) g(x) возвести в одну и ту же нечётную степень n, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство fn(x) gn(x), равносильное данному;
если обе части неравенства f(x) g(x) неотрицательны на ОДХ, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень n, сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство fn(x) gn(x), равносильное данному;
показательное неравенство af(x) ag(x) равносильно неравенству:
f(x) g(x), если а 1;
f(x) g(x), если 0 а
логарифмическое неравенство logaf(x) logag(x), где f(x) 0 и g(x) 0, равносильно неравенству:
f(x) g(x), если а 1;
f(x) g(x), если 0 а
Совокупность неравенств Решение совокупности: объединение решений всех неравенств в совокупности. Система неравенств Решение системы: пересечение решений всех неравенств в системе. 
Просмотр содержимого документа
«3. Опорный конспект - Методы решения неравенств»
Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Неравенства, содержащие Неравенства, содержащие
иррациональные выражения выражения с модулем
Неравенства, содержащие показательные выражения (потенцирование)
Неравенства, содержащие логарифмические выражения (логарифмирование)
Метод расщепление неравенств
Метод замены
Если неравенство F(x) 0 приводится к виду f (g(x)) 0 , то можно ввести новую переменную g(x) = t , решить неравенство f (t) 0 относительно переменной t и затем решить полученные неравенства с первоначальной переменной х.
Если
Если
Метод интервалов
Пусть нам дано неравенство вида f(x) 0, где f(x) рациональная или дробно-рациональная функция.
1. Раскладываем f(x) на множители (если это возможно).
2. Находим нули f(x).
3. Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень — четной кратности)
4. Расставляем знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. 5. Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ.
Обобщённый метод интервалов
Будем рассматривать неравенства вида f(x) 0, где f(x) - логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция.
Наши действия будут такими:
1) Находим область определения f(x)
2) Находим нули f(x)
3) Определяем знаки на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции), подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку.
4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых f(x) имеет соответствующий знак.
Просмотр содержимого документа
«Лист самоконтроля»
Просмотр содержимого документа
«Самоанализ урока»
Просмотр содержимого презентации
«Презентация к уроку»
Секрет успеха – в мелочах
Успешно пройти ГИА
- качественная теоретическая подготовка
- качественная практическая подготовка (владение рациональными методами решения)
- самоконтроль, саморегуляция
- точное распределение времени на выполнение задания
- правильное оформление экзаменационной работы
- эмоциональный настрой
ЕГЭ 2015 (профиль)
Средний балл по России – 49, 6
Средний балл по Пермскому краю – 47
Средний балл по Пермскому району –
Подготовка к ЕГЭ 2016
Средний балл тренировочных работ 11 класса – 50, 52, 58
Тема: «Решение логарифмических неравенств»
Цели:
- повторить теоретический материал;
- выполнить практическую работу, вспомнить методы решения логарифмических неравенств;
- научиться находить рациональные способы решения;
- строить алгоритм решения неравенства;
- распределять время для выполнения работы;
- правильно оформлять работу;
- выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы).
Решение неравенств
Основные виды неравенств и способы их решения
Равносильные преобразования неравенств
Методы решения неравенств
Определение и свойства логарифма
Логарифмическая функция, её свойства и график
Задания для повторения
№ 1
Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов
Задания для повторения
№ 2
Представьте число в виде логарифма с основанием 2
№ 3
Вычислите:
Задания для повторения
№ 4
Выясните, при каких значениях Х существует логарифм
1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем" width="640"
Решение простейших логарифмических неравенств
При решении простейших логарифмических неравенств
необходимо учитывать ___________________________
- при а 1 функция __________, знак неравенства _______
- при 0
монотонность логарифмической функции
возрастает
не меняем
убывает
меняем
Решите неравенства
Работа в группах: составьте план решения неравенства
Метод подстановки
?
Решите неравенства самостоятельно
Свойства логарифмической функции
Метод интервалов
Свойства логарифма
Переход к равносильной системе
Проверка
1
65
Проверка
4,75
5
Проверка
0
7,5
5
Проверка
-
-
+
+
7
5
0
Проверка
-
-2
1
0,25
0
2
0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов произведение суммы и разности двух логарифмов произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма" width="640"
Мастер-класс
План решения:
План решения:
- к основанию 5
- в левую часть
- разность квадратов
- произведение суммы и разности двух логарифмов
- произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ
- метод интервалов
- расщепление неравенства
- другой способ
- к основанию 5
- в левую часть
- разность квадратов
- произведение суммы и разности двух логарифмов
- произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ –
- метод интервалов
- расщепление неравенства
- другой способ –
метод рационализации
- метод рационализации
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Доказательство
Пусть
13
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Вывод: в решении неравенства мы можем заменить
учитывая ОДЗ логарифма, если
- в правой части нуль;
- в левой части логарифм или произведение (частное) с логарифмом.
Решите неравенства новым рациональным способом :
План решения:
- ОДЗ
- выполнить замену логарифма на ( a -1) (b-1)
- решить неравенство методом интервалов
- записать ответ с учётом ОДЗ.
План решения:
- ОДЗ
- выполнить замену логарифмов на ( a -1) (b-1)
- решить неравенство методом интервалов
- записать ответ с учётом ОДЗ.
Задание
Отметка (+)
Теоретическая база
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»
Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств»
11
9
Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Опорный конспект №4
«Понятие логарифма. Логарифмическая функция»
7
25
Повторение
- Преобразование выражений с помощью свойств логарифма.
- Представление числа в виде логарифма с данным основанием.
10
3
- Вычисление логарифмов.
- Область допустимых значений логарифма (ОДЗ).
5
6
Практикум по решение неравенств
Неравенство №1
Неравенство №2
2
2
Неравенство №3
Неравенство №4
2
Неравенство №5
2
2
Первичное закрепление метода рационализации
Неравенство №1
2
Неравенство №2
ИТОГИ: (подсчитай количество +)
2
90
«3» 25-49
«4» 50-75
«5» 76-90
Домашнее задание
Какие цели урока выполнили ?
На следующих занятиях мы продолжим знакомиться с рациональными методами решения неравенств
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
