Открытый урок: "Решение показательных уравнений"

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение Самарской области

«Нефтегорский государственный техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

учебного занятия

по предмету «Математика»

на тему: «Решение показательных уравнений»

Разработчик:

преподаватель математики

Иванникова Е.С.

Нефтегорск, 2023

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся(2 мин.)

3. Актуализация знаний  (8 мин.)

4. Обобщение и систематизация знаний.  (10 мин.)

5. Физминутка (2 мин)

6. Применение знаний и умений в новой ситуации(10 мин.)

7. Рефлексия. Подведение итогов (3 мин.)

8.  Домашнее задание (3 мин.)

Цель урока: Систематизировать и обобщить ранее изученные методы решения показательных уравнений.

Задачи урока:

-Повторить основные понятия, правила, свойства показательных уравнений.

- Отработать навыки решения показательных уравнений различными способами.

-Сформировать умения решать показательные уравнения графическим способом.

-Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления.

-Развивать навыки самостоятельной работы.

-Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

- Способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности.

Тип урока: обобщение и закрепление знаний и умений.

Методы: информационный, проблемный, тестовый, разноуровневый.

Формы организации деятельности учащихся: индивидуальная, групповая.

Продолжительность занятия: 40 минут.

Уровень обучающихся: 1 год обучения.

Количество обучающихся: 20-25 чел.

Место проведения занятия: кабинет математики

Материально-техническое и дидактическое, программное оснащение урока: план-конспект урока, технологическая карта, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради, презентация.

Изучив тему, учащиеся должны:

Знать:

- определение показательного уравнения;

-методы решения показательных уравнений;

-классификацию типов показательных уравнений по методу решения.

Уметь:

-решать показательные уравнения различными способами;

-применять полученные знания для решения практических задач;

-анализировать полученную информацию;

-уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

Конспект занятия

(слайд 1) Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности обучающихся к уроку, фиксация отсутствующих на уроке.

С древних времен на Руси, люди, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь здоров». Сейчас мы говорим «Здравствуйте», т.е. люди желают здоровья друг другу.

Здравствуйте, уважаемые студенты и гости. Урок я хочу начать притчей: «Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. «Произнеси это 5 раз». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь», - сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку». Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Математика как высокая винтовая лестница, чтобы подняться к вершинам знаний, нужно пройти каждую ступеньку, от 1 до последней. Ступая на каждую ступень мы попадаем на определенное задание.

Ознакомление обучающихся с условиями оценивания их деятельности в ходе занятия:

- На ваших столах лежат оценочные листы. В ходе занятия, вы будете вносить количество баллов за каждое выполненное задание, самостоятельно оценивая свои знания. За работу у доски, за ответы с места даются дополнительные баллы. Я надеюсь, что ваша оценка будет объективной. (Приложение 1)

(слайд 2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

Сегодня мы закрепим и систематизируем знания и умения, полученные на предыдущих уроках по теме «Показательные уравнения», вспомним определения и свойства, виды и методы решения показательных уравнений. Желаю вам быть активными, внимательными и объективными!

(слайд 3) Эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

(Портрет ученого вывешивается на доску).

Актуализация знаний

(слайд 4) Я предлагаю 1 ступень «Легко проверить». Проверяем д/з (количество выполненных заданий вносим в таблицу), самопроверка(каждое правильное задание 1 балл)

1. уровень

1. Найти х, если 5^х= .

А) 1; Б) 0; В) -1; Г) 2; Д) -2.

1. Найти корень уравнения 4^х = 64.

А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1; Д) 0.

1. Решить уравнение .

А) 0; Б) 3; В) 1; Г) -1; Д) 4.

1. При каком значении х

А) 2; Б) 0; В) -2; Г) 1; Д) -1.

1. Найти х, если .

А) 5; Б) 4; В) 6; Г) -4; Д) -6.

1. уровень

1. Найти х, если

А) 2; Б) 1; В) -1; Г) -2; Д) -3.

1. Указать число, которое является корнем уравнения

.

А) 3; Б) 4; В) 2; Г) -2; Д) -3.

1. Решить уравнение .

А) 3; Б) 1; В) 4 Г) -1; Д) 2.

1. При каком значении х ?

А) 3; Б) 2; В) ; Г) Д) 1.

1. Найти х, если .

А) ; Б) ; В) ; Г) 4; Д) - 4.

Таблица ответов

(слайд 5) 2 ступень «Опрос»

1.Какая функция называется показательной?

2.Какие условия должны выполняться для решения показательных уравнений? (a )

(слайд 6) 3.Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1.у = 2^х

2. y = x²

3. у = ( )^x

4. у = x

5.у = (x - 2)³

6.у =

7. у = 3^-x

(ответ: 1,3,6,7)

(слайд 7) 4.Выберите возрастающие функции:

1) у=4^х 6) у=(2) ^-Х

2) у=( )^Х 7) у=( ^Х

3) у=3^Х 8) у= 0,9^Х

4) у=(0,1)^Х 9) у=( ^Х

5) у= ( ) ^{- Х} 10) у=( )^Х

(Ответ: 1,3,6,9)

(слайд 8) Мы с вами знаем определение показательных уравнений, условия их существования и, на предыдущих уроках, мы знакомились с различными способами решения показательных уравнений. Назовите эти способы (приведение к общему основанию, способ приведения к квадратному уравнению, способ вынесения общего множителя за скобки).

Молодцы. Те, кто отвечал, оцените себя на листочках по 1 баллу за каждый правильный ответ.

Обобщение и систематизация знаний

(слайд 9) 3 ступень «Горы решений»

М.В. Ломоносов говорил «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения».

(Портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

(слайд 10) Задание 1. Каждому ряду предлагается столбик показательных уравнений: (Приложение 2)

Ваша задача заключается в том, чтобы расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Сможете ли вы сразу выполнить это задание? (нет) Почему? (мы не знаем их корней).

Следовательно, сначала необходимо решить эти уравнения. Полученные результаты проанализировать и расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Будьте внимательны. Если хотя бы одно уравнение будет решено неверно, порядок расположения уравнений будет нарушен.

(слайд 11) Кто справился с заданием? Пожалуйста, к доске. Все согласны? Давайте сделаем проверку. Не забывайте оценивать свои ответы и выставлять баллы в таблицу. Если удалось расположить уравнения в порядке возрастания (263514) вы заработали 1 балл. Каким способом вы решили эти уравнения? (способом приведения к одному основанию). Какие еще способы решения показательных уравнений вы знаете? (способ приведения к квадратному, способ вынесения общего множителя за скобки).

(слайд 12) Задание 2. На доске три уравнения (Приложение 3)

Первое задание более сложного уровня(3балла), второе – средней сложности (2 балла), третье – несложное задание (1 балл).

1.3^{х -1} – 3^х + 3^{х + 1} =7; 2. 5^х + 5^{х + 1} = 6; 3. 2· 7^х + 7^х = 21.

Каждый выбирает задание по желанию. Верное решение каждого уравнения оценивается соответствующим количеством баллов. (Выбирают уравнение, решают). Если вы решили одно задание, то вы можете решить задание другой сложности и заработать дополнительное количество баллов.

Давайте проверим, все ли справились с заданием? Желающие – к доске. (Обсуждаем, исправляем ошибки). Каким способом вы решили эти уравнения? (способом вынесения общего множителя за скобки).

Сверьте эталон решения с вашим решением. Выставьте себе в оценочные листы соответствующее количество баллов. Кто допустил ошибки – исправляйте.

Поднимите руки, кто справился с первым заданием? Со вторым? С третьим? Кто выполнил дополнительное задание? Не забудьте поставить себе оценки. Занесите свои оценки в оценочные листы.

Мы повторили известные вам способы решения показательных уравнений. Давайте еще раз вспомним способы решения показательных уравнений.

(слайд 13) Физминутка

Ребята, а теперь, выполним простое упражнение. Немного отдохнем. Сядьте поудобнее на стуле.

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води

И на бочек ее клади.

Теперь следи горизонтально

И в центе ты остановись,

Зажмурься крепко, не ленись!

Глаза откроем, наконец

Зарядка окончилась, ты молодец!

Применение знаний и умений в новой ситуации

(слайд 14) Задание 3. (Приложение 4). А сейчас у меня в руках карточки, а у вас они на столе, с показательными уравнениями. Давайте попробуем разбить множество представленных уравнений по способу их решения.

2^х =11 – х 2^{х -1} = 1

36^х - 4 6^х – 12 = 0 6^{х + 1}+ 6^х = 7

Расставляют уравнения по способу решения. Какой способ мы сегодня не использовали? (приведение к квадратному уравнению). Давайте решим его.

Обратите внимание на то, что в левой части уравнения присутствуют степени с одинаковыми показателями и разными основаниями.

Рассмотрим основания степеней, находящихся в левой части нашего уравнения, это числа 36 и 6

Заметим, что

Поэтому наше уравнение можно записать

Теперь, самое время ввести подстановку.

Пусть тогда получаем,

Итак! Мы получили обычное квадратное уравнение. Предлагаю вам решить его самостоятельно, так как изучение этой темы относится к программе 8 класса. Корни уравнения 2;- 3. Подставим вместо t найденные корни.

; x=1 или - решений нет

Ответ: 1

(слайд 15) Остается одно уравнение: 2^х =11 – х. Перед нами встала проблема. Это уравнение мы не можем решить ни одним из способов, которые знаем. Давайте вместе попытаемся найти способ решения этого уравнения.

(слайд 16) Задание 4. Можно представить каждую часть уравнения в виде функций? (да). Хорошо. Левую часть можно представить в виде какой функции? (показательной), а правую? (в виде линейной).

2^х = 11 – х

у = 2^х у = 11 - х

показательная линейная

Давайте построим графики этих функций в одной системе координат.

у = 2^х y = 11 – х

у

у = 2^х

8

у = 11 - х

3 х

Что можно сказать о взаимном расположении графиков (пересекаются в точке с координатами (3;8)

Возвращаемся к решению нашего уравнения. Мы рассмотрели обе части уравнения как некоторые функции, графики которых мы построили в одной системе координат. Что вы можете сказать о решении этого уравнения? (решением является абсцисса точки пересечения).

Ответ: х = 3

Итак, мы с вами научились решать показательные уравнения еще одним способом – графическим. В каком случае показательное уравнение нужно решать графическим способом? (когда переменная содержится не только в показателе степени)

(слайд 17) Составим алгоритм решения показательного уравнения графическим способом.

1.Представить обе части уравнения в виде функций относительно переменной х.

2.Построить графики обеих функций:

- если графики функций пересекаются, то абсциссы точек их пересечения – корни уравнения;

- если графики функций не пересекаются, то уравнение решения не имеет.

(слайд 18) 4 ступень «Интересно»

Умея решать показательные уравнения, вы можете применить знания для решения задач с практической направленностью.

Задание.

Вам необходимо выполнить общестроительные работы. Для этого вы взяли кредит в банке 80 000 рублей под 15% годовых. Сумма возврата кредита с процентами 92000 рублей. На сколько лет взят кредит в банке?

Решение. Для расчетов применяют формулу вычисления сложных процентов.

S = s·(1+p)^х, где S – сумма возврата,

s – сумма кредита,

,

х – количество лет, на которые взят кредит.

(слайд 19) Решение:

92 000 = 80 000 · ( ;

92 000 = 80 000 ·( ;

92 000 = 80 000 ·( ;

( = ;

( = ; ( ; х = 1

Ответ: 1 год.

(слайд 20)Как говорил И. Ньютон: «Математику нельзя изучать наблюдая, как это делает сосед»

Последняя ступень «К вершине знаний» на тему «Решение показательных уравнений»

Приложение 5

(слайд 21) Выполнение теста по вариантам с взаимопроверкой.

1. вариант

1.Найдите корень уравнения: 27^х = -27

а) нет корней б) – 1 в) 0

2.Найдите корень уравнения: 9 ^-9+х=729

а) -6 б) 12 в) -12

3. Найдите корень уравнения: = 64

а) 6 б) 9 в) 0

4. Найти сумму корней уравнения =1

а) 1 б) -1 в) 9

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (5; 7) в)

1. вариант

1.Найдите корень уравнения: 125^х = -125

а) нет корней б) 3 в) 5

2.Найдите корень уравнения: 5 ^{3 - х}=125

а) -3 б) 0 в) -1

3. Найдите корень уравнения: = 49

а) - 3 б) 5 в) 1

4. Найдите сумму корней уравнения

а) – 2 б) 3 в) - 3

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (0; 1) в)

(слайд 22) Ответы к тесту

Давайте проверим ответы. Поменяйтесь тетрадями, проставьте баллы за каждое правильное по 1 баллу.

Последняя ступень была достигнута «Молодцы»

Рефлексия

Давайте вернемся к началу нашего урока и вспомним, какую цель мы ставили перед собой? (систематизировать и обобщить знания по теме показательные уравнения, отработать навыки решения уравнений различными способами. Как вы считаете, справились мы с поставленной целью?

Да, действительно, цель урока мы сегодня с вами достигли.

Сегодня на уроке особенно активно работали…… я даю вам за работу дополнительно 5 баллов. А теперь, подведите итоги своей работы на уроке, подсчитайте свои баллы и поставьте себе оценку.

Кто заработал за урок наибольшее количество баллов? А кто сегодня заработал «0» бонусов? Давайте приведем набранные вами бонусы к, привычным вам оценкам.

Достигли ли вы сегодня положительного результата и как вы оцениваете свою деятельность на уроке. Какой этап урока показался вам наиболее интересным?

(слайд 23) Домашнее задание

В заключение урока хочется процитировать слова великого математика Г. Лейбница: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, - что следуя этому методу, мы достигнем цели».

(слайд 24) А теперь запишите домашнее задание:

1.Решить уравнение графическим способом: 3^х = -х +4.

2.Дополнительное задание: подберите (не из учебника) или придумайте сами 4 показательных уравнения, решаемые разными способами.

(слайд 25) Мне необходимо знать, насколько самостоятельно и с какой уверенностью вы решали задания. У вас на партах опросный лист, его нужно заполнить, чтобы проанализировать результат работы на уроке.

( Приложение 6)

(слайд 26) Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока: «Решение уравнений - это золотой ключ, открывающий все сезамы».      

С. Коваль          Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери. Спасибо за урок!

Приложение 1

Таблица накопления баллов

Фамилия, имя учащегося_______________________________

Приложение 2

Работа по рядам

Приложение 3

Работа у доски

3^{х -1} – 3^х + 3^{х + 1} =7;

5^х + 5^{х + 1} = 6;

2· 7^х + 7^х = 21.

Приложение 4

36^х - 4 6^х – 12 = 0

2^х=11 – х

2^{х -1}= 1

6^{х + 1}+ 6^х = 7

Приложение 5

Тест

1. вариант

1.Найдите корень уравнения: 27^х = -27

а) нет корней б) – 1 в) 0

2.Найдите корень уравнения: 9 ^-9+х=729

а) -6 б) 12 в) -12

3. Найдите корень уравнения: = 64

а) 6 б) 9 в) 0

4. Найти сумму корней уравнения =1

а) 1 б) -1 в) 9

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (5; 7) в)

1. вариант

1.Найдите корень уравнения: 125^х = -125

а) нет корней б) 3 в) 5

2.Найдите корень уравнения: 5 ^{3 - х}=125

а) -3 б) 0 в) -1

3. Найдите корень уравнения: = 49

а) - 3 б) 5 в) 1

4. Найдите сумму корней уравнения

а) – 2 б) 3 в) - 3

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (0; 1) в)

Приложение 6

Опросный лист