ОУД 04. Математика 953 группа 19.03.2020

Тема: Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Цель - расширить понятийную математическую базу за счет включения новых элементов – теорема Эйлера.

Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

Для изучения этого вопроса, предлагаю электронный ресурс:

Часть 1 // Квант. 2001. № 5. С. 7—12.

http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf

Часть 2 // Квант. 2001. № 6. С. 3—10.

http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогран­ника имеет место равенство:

В - Р + Г = 2, (*)

где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного многогранника.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии — раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополни­тельных склеек. Такие свойства называются тополо­гическими. Соотношение Эйлера В - Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут искривляться, однако их число, а, следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. При этом много­гранник может стать невыпуклым, тем не менее для него будет выполняться соотношение Эйлера. Однако есть невыпуклые многогранники, для которых соот­ношение Эйлера не выполняется. Пример такого мно­гогранника приведен на рисунке 1. Он получается, если в кубе вырезать дыру в форме параллелепипеда.

В = 16, Р = 32, Г = 16, В - Р + Г = 0.

Оказывается, что для выполнимости соотношения Эйлера существенным является не столько выпуклость многогранника, сколько то, что у него нет дыр. По­верхность выпуклого многогранника непрерывной деформацией можно сделать такой же, как у шара, а с поверхностью многогранника, изображенного на рисунке 1, этого сделать нельзя.

Доказательство (теоремы Эйлера). Представим по­верхность данного многогранника сделанной из элас­тичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плос­кости.

Это можно сделать, например, с помощью цент­рального проектирования с центром в точке S, распо­ложенной немного выше удаленной грани ABCDE (рис. 2).

В результате на плоскости получим сетку (рис. 3), состоящую из Г' = Г - 1 многоугольников (которые по-прежнему будем называть гранями), В вершин и Р ребер.

Рис.3

Для этой сетки нужно доказать равенство

В - Р + Г' = 1. (**)

Тогда для многогранника будет справедливо тре­буемое равенство (*).

Докажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диа­гональ. Действительно, после проведения такой диа­гонали (например, EF) в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, следовательно,

В - (Р + 1) + (Г' + 1) = В - Р + Г'.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диа­гонали, разбивающие входящие в нее мно­гоугольники на треугольники, и для полученной треугольной сетки (рис. 4) покажем выполнимость соотношения (**).

Для этого будем последовательно убирать край­ние треугольники. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника требуется снять одно ребро (на рис. 4 для удаления треугольника ABF тре­буется снять ребро АВ);

б) для удаления треугольника требуется снять два ребра (на рис. 5 для удаления треугольника BCF тре­буется снять ребра ВС и BF).

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случае после удаления треуголь­ника сетка будет состоять из В вершин, Р - 1 ребер и Г' - 1 граней, В - (Р - 1) + (Г' - 1) = В - Р + Г'.

Самостоятельно рассмотрите второй случай (рис. 6).

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношения (**). Продолжая этот процесс уда­ления треугольников, в конце концов мы придем к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В = 3, Р = 3, Г' = 1, следовательно,

В - Р + Г = 1.

Значит, соотношение (**) имеет место и для исход­ной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо соотношение (*).

Решение задач

Задача 1. Гранями выпуклого многогранника яв­ляются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р - Г. В нашем случае В = 2 +12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Приме­ром такого многогранника является октаэдр (рис. 7).

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого много­гранника выходит три ребра. Сколько он имеет вер­шин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогран­ника В = 8, Р=12иГ = 6. Примером такого много­гранника является куб.

Задача 3*. Докажите, что в любом выпуклом мно­гограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Решение. Обозначим через Г_n число граней с п реб­рами. Тогда Г = Г₃ + + + + ... Каждая тре­угольная грань имеет три ребра, и число треуголь­ных граней равно Г₃. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно З Аналогично, общее чис­ло ребер в четырехугольных гранях равно 4 , и т.д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержит­ся ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

2Р = ЗГ₃+ + + +… .

Аналогичным образом обозначим через В число вершин, в которых сходится п ребер.

Тогда В = В₃ + + + В₆ + ...

Значит, для числа ребер (Р) будет иметь место ра­венство

2Р = + + + +…

Воспользуемся равенством 4В - 4Р + 4Г = 8, полу­чающимся умножением обеих частей равенства Эй­лера на 4.

Имеем

4В = + + + +…

4Г = 4 + 4 + 4 + +…

4Р = 2Р + 2Р = З + 4 , + 5 +

+ +…+ + + + +…

Подставляя эти выражения в указанное равенство, получим:

В₃ + Г₃-(В₅ + 2В₆+... + Г₅ + 2Г₆ +...) = 8.

Из этого следует, что В₃₊Г₃ ≥ 8, что и требова­лось доказать.

В качестве приложения теоремы Эйлера рассмот­рим задачу Эйлера о трех домиках и трех колодцах.

Задача 4. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Попробуем провести требуемые дорожки. На рисунке 8 показано расположение дорожек, две из которых пересекаются. Попытки провести непересе­кающиеся дорожки к успеху не приводят. Однако это не означает, что этого нельзя сделать. То, что не полу­чается у нас, может получиться у кого-нибудь друго­го. Если же мы предполагаем, что непересекающиеся дорожки провести нельзя, то это нужно доказать. До­казательство будем вести от противного. Предположим, что это можно сделать. Каждую точку-домик соеди­ним с каждой точкой-колодцем. Получим девять ре­бер, которые попарно не пересекаются.

Рис.8

Эти ребра образуют на плоскости сетку, аналогич­ную той, которая была получена при доказательстве теоремы Эйлера. Поэтому для числа вершин, ребер и граней этой сетки должно выполняться соотношение Эйлера В – Р+Г' — 1. Добавим к ней еще одну грань — внешнюю часть плоскости по отношению к исходно­му многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера при­мет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следова­тельно, Г должно равняться пяти.

Заметим, что поскольку дорожки не соединяют меж­ду собой никакие два домика и никакие два колодца, то у рассматриваемой сетки нет треугольных граней. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше =10, что противоречит тому, что их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в зада­че отрицателен — нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.

Задание на дом

1. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте та­кой многогранник.

3. Гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у него вершин и ребер? Приведите пример такого многогранника.

4. Докажите, что у любого выпуклого многогран­ника найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5. Можно ли четыре домика соединить непересекающимися дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодца­ми и каждый колодец — с тремя домиками?