Параболический бильярд

Конкурс проектных и исследовательских работ

«На крыльях Буревестника»,

муниципального этапа регионального конкурса

«Под алыми парусами».

Тема проектной работы:

«ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ БИЛЬЯРД»

Номинация:

«Чтения имени И.Г. Петровского: «На пути к великим открытиям» (проектные и исследовательские работы физико-математической и естественнонаучной направленности)

Ф.И.О. авторов:

Шпаков Максим Павлович,12.05.11 г.р., 7 А класс

Руководитель:

Карсекина Ольга Владимировна, учитель физики Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа имени А.М. Горького»

города Карачева Брянской области

г. Карачев

2025

Введение 2

1. История 3

2. Принцип построения параболы для бильярдного поля 5

3. Создание параболического бильярда 8

4.Заключение 10

5.Список используемой литературы 11

6.Приложения 12

Введение

С функциями мы начали знакомиться в курсе 7 класса. Это линейная функция, прямая пропорциональность. С квадратичной функцией и ее графиком мы знакомимся в 8 и 9 классах.

Меня заинтересовали и другие функции, не только линейная.

Парабола может быть определена не только как график квадратичной функции, но и как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки. Рассмотрение параболы как геометрического места точек приводит ко многим применениям данной функции в жизни.

Гипотеза: геометрическим местом точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки является квадратичная парабола;

Актуальность проекта: парабола рассматривается с точки зрения геометрии и физики расширяет и углубляет знания о параболе, полученные на уроках математики.

Полученные результаты работы могут использоваться на уроках математики, на занятиях математического кружка. Кроме того, можно применять полученные знания при построении графика квадратичной функции.

Объект исследования – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки- парабола.

Предмет исследования – парабола y = кх²

Цель проекта: Сконструировать параболу и перенести ее на поверхность бильярдного стола, обозначив место фокуса, таким образом получить макет параболического бильярда и проверить на практике его работу.

Задачи проекта:

1. Изучить понятие параболы, принцип ее построения, используя фокус и директрису.

2. Узнать историю параболы.

3. Выбрать подходящий для сборки вариант макета.

4. Протестировать бильярд для оценки и качества работы.

5. Развитие математической интуиции, творческих способностей;

1. История

Коническими сечениями много занимались математики Древней Греции. Именно древние греки установили, что при сечении конуса плоскостью могут получаться кривые второго порядка. Если рассечь круговой конус плоскостью, перпендикулярной оси конуса, в сечении получится окружность. Если секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса, то в сечении получается эллипс. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то в сечении получается неограниченная (в одну сторону) линия, называемая параболой. Если секущая плоскость пересекает обе полости поверхности кругового конуса, то в сечении получается линия, состоящая из двух неограниченно удаляющихся ветвей, называемая гиперболой. В частности гипербола получается в том случае, когда секущая плоскость параллельна оси конуса. Рис. 1,2.

Первое упоминание о параболе встречается в Древней Греции в трудах Мэнаихма (4 век до н.э.), ученика Платона. на Востоке в (9-11 веках).

Фокус параболы впервые установил Папп (2-я пол. 3 века), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 век).

Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности. В 16 веке Никола Тарталья предположил, что траектория брошенного тела не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. В 17 веке Иоганн Кеплер (1571-1630г.г.) обнаружил, что по эллипсам движутся планеты, а некоторые кометы имеют параболическую траекторию движения (рис. 3).

В 17 веке Галилео Галилей рассматривал механику падающих тел. В своей книге «Беседы» (1638г.) Галилей пришёл к математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением. В этой книге так же доказывается, что выпущенный из пушки снаряд летит по параболической траектории. Галилей указывает, что цепная линия сходна с параболой, но не даёт точного описания этой кривой.

В древней Греции парабола вводится как одно из возможных конических сечений, парабола используется для решения уравнений третьей и четвертой степени.

В эпоху Возрождения в Европе парабола описывается как траектория движения брошенного камня или запущенного из пушки снаряд.

2. Принцип построения параболы для бильярдного поля

Определение: параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от прямой и не лежащей на ней точки.

Пусть на плоскости дана прямая ℓ и не лежащая на ней точка M. Пусть расстояние от точки M до прямой ℓ равно 2 m. Рис.4

Расположим оси координат в соответствии с рисунком 1: ось абсцисс параллельна прямой ℓ на расстоянии от неё m (прямая ℓ проходит через точку (0; -m) ), ось ординат проходит через точку M.

Пусть точка A (x; y) равноудалена от прямой ℓ и точки M, т.е. AM = AB (AB перпендикулярно оси абсцисс). Проведем MD перпендикулярно AB. Тогда в прямоугольном треугольнике AMD:

MD = x,

AD = y – m.

По теореме Пифагора получим:

AM²= MD² + AD² = x² + (y – m)² .

По рисунку 1 AB = y + m.

Так как AM= AB, то AM² = AB²,

тогда x² + (y– m)² = (y + m)²,

x²+y² – 2my + m² = y² + 2my + m²,

x² + y² – 2my + m² – y² – 2my – m² = 0,

x² – 4my = 0,

4my = x²,

y = x²/(4m)

Так как точка A взята произвольно, то координаты любой точки, равноудаленной от заданной точки (M) и заданной прямой (ℓ ), связаны между собой полученным выражением (1). Это уравнение называется уравнением параболы (с вершиной в начале координат).

При m = 1/4 получим y = x², при m = 1 получим y = x²/4.

Точка M называет фокусом параболы, а прямая ℓ – директрисой.

Используя геометрическое определение параболы, нетрудно смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу. Для этого к вершине острого угла чертёжного треугольника нужно укрепить нить длиной, равной катету. Второй конец нити с помощью кнопки укрепить на бумаге. Ещё понадобиться линейка и карандаш.

Зафиксировав положение линейки, заставим другой катет скользить по линейке. Карандаш, прижатый к первому катету так, чтобы нить оставалась в натяжении, будет рисовать параболу. Это отражено на фотографии (рис.5).

Удобно использовать специальное устройство –параболограф. Рис.6

Инструмент состоит из подвижного элемента, движущегося вдоль впадины. В подвижном элементе есть прорезь, вдоль которой может перемещаться втулка. Через втулку проходит нить, равная длине прорези и прикрепленная к верхней части подвижного элемента и к точке на поле. Если держать нить натянутой, то расстояния от втулки до точки на поле и до впадины равны (так как длина нити равна длине прорези).Значит, вставив карандаш во втулку, мы сможем нарисовать параболу, для которой точка на поле будет фокусом, а впадина — директрисой.

Я использовал классический способ – по точкам. Выберу для построения параболувида у= 1/4m х² у=1/8 х² , где m= 2, масштаб: 5 клеток=1

При вращении параболы вокруг своей оси образуется параболоид. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболоида, после отражения от его поверхности, проходит через фокус параболоида. Это свойство параболоида фокусировать лучи, параллельные его оси. Поэтому, чтобы изготовить зеркало, собирающие солнечные лучи в одной точке, надо отшлифовать его по параболоиду вращения. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные от поверхности параболоида лучи пройдут через его фокус. Температура в фокусе окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет не только вскипятить воду, но даже расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», что в переводе с латинского означает «очаг». По дошедшей до нашего времени легенде, с помощью таких вогнутых параболических зеркал Архимед сжег вражеские римские корабли. Это же свойство фокусировать пучок параллельных оси параболоида лучей или радиоволн используется в конструкциях приемных антенн космической связи, в зеркалах телескопов. В прожекторах, автомобильных фарах, фонариках обычно применяют зеркало параболической формы, в фокусе которого помещают источник света. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Аналогично устроен направленный микрофон. Если стенам помещения придать форму параболоида, то они будут способны усиливать звуки, источник которых находится в его фокусе. Рис.7.

Но если прожекторы, телескопы, микроскопы, локаторы – творения рук человека, то глаз – это удивительное творение природы. Хрусталик глаза – самонастраивающийся прибор, он позволяет нам видеть близкие и далекие предметы. Хрусталик то сжимается в шарик, то растягивается в эллипсоид, тем самым меняя фокусное расстояние.

3. Создание параболического бильярда

Согласно оптическому свойству параболы, луч, пришедший параллельно её оси, после отражения от параболы попадает в фокус. Модель параболического бильярда демонстрирует оптическое свойство параболы, используя механику.

Бортик бильярда символизирует параболу. На сукне отмечаем фокус, и в эту точку следует поставить вспомогательный шарик. Горку можно перемещать вдоль края, но в любом положении она остаётся параллельной оси параболы. Запущенный с горки шарик скатывается с неё, ударяется о бортик и всегда попадает фокус — ударяется о шарик в нём стоящий! При изготовлении параболического бильярда стоит учитывать, что вращение шарика происходит вокруг его центра — вокруг центра масс. Поэтому, для более точной работы, бортик должен быть не в форме самой параболы, а в форме эквидистанты параболы — кривой, каждая точка которой получается из параболы отступом по нормали на радиус используемого шарика. При первых показах эту тонкость можно не объяснять наблюдателям, считая, что бортик имеет параболическую форму. Обсуждение тонкостей с более подготовленными участниками эксперимента даст им возможность подумать не только о чистой математике, но и о механике.

При изготовлении модели стоит подобрать параметры параболы так, чтобы фокус параболы был не слишком близко и не слишком далеко от вершины. Горка должна иметь упор в прямую стенку бильярда, чтобы при любом сдвиге оставаться параллельной оси параболы. Шарик, высоту горки и покрытие рабочей поверхности бильярда стоит подобрать так, чтобы шарик после отражения от борта-параболы долетал до фокуса с достаточной скоростью.

Качество изготовления бильярда можно оценить, убрав вспомогательный шарик из фокуса. Запущенный с горки шарик, отразившись от бортика, должен пройти через точку фокуса, а отразившись от бортика второй раз, пойти параллельно оси параболы.

Для изготовления параболического бильярда можно использовать:

пеноплекс и гибкую полоску пластика или металлическую линейку. 

Шаблон параболы можно было построить методом сгибов листа бумаги по М. Гарднеру. Для этого нужно найти центр листа, сложив его вдоль и поперёк. Эту точку считают фокусом будущей параболы. Затем лист сгибают так, чтобы его нижний длинный край прошёл через фокус. Так делают несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы. 

Шаблон переносят на пеноплекс с помощью зубочисток, прорезают параболу канцелярским ножом на глубину 8–10 мм и вдвигают в щель металлическую линейку. По бокам аналогичным способом делают прямые картонные бортики. 

В точке фокуса параболы делают вмятину с помощью шарика марблс и оставляют его там. Шар-биток лучше использовать более массивный (мячик-попрыгунчик из жёсткого каучука). 

При изготовлении модели стоит подобрать параметры параболы так, чтобы фокус был не слишком близко и не слишком далеко от вершины. Горка должна иметь упор в прямую стенку бильярда, чтобы при любом сдвиге оставаться параллельной оси параболы. Шарик, высоту горки и покрытие рабочей поверхности бильярда стоит подобрать так, чтобы шарик после отражения от борта-параболы долетал до фокуса с достаточной скоростью. Рис.8,9.

Подходит любое положение горки, так как шарик-мишень находится в фокусе параболы. все лучи, выходящие из фокуса, после отражения от параболы идут параллельно друг другу(и параллельно оси параболы). Оказывается, верно и обратное (так как для отражения лучей не имеет значения их направление).

4.Заключение.

В ходе выполнения проекта мне понравилось изучать новое, увидеть, что математические формулы строго выполняются на практике. Параболический бильярд работает без промахов.

Фокус параболы – это действительно особая точка, которая собирает все отраженные лучи, падающие параллельно директрисе.

5. Список литературы

1. Параболическая антенна // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019.

2. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика-Пресс, 1999.

3. Кольман Э.. История математики в древности. М., Издательство физико-математической литературы, 1987.

4. Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Потрфолио», сборник описаний работ// М., «Первое сентября», «Чистые пруды», 2011.

http://www.kakprosto.ru/kak-112639-kak-narisovat-parabolu

http://www.problems.ru/thes.php?letter=15

6. Приложения