Параллельность плоскостей в пространстве 10 класс

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Две плоскости

Имеют общие точки

(пересекаются по прямой)

Не имеют общих точек

(параллельны)

Признак параллельности двух прямых

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

Доказательство. Пусть плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Докажем, что прямые a и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости - плоскости γ. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, следовательно, и подавно, не пересекаются. Значит, они параллельны.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть две пересекающиеся прямые a 1 , a 2 плоскости α соответственно параллельны двум прямым b 1 , b 2 плоскости β . Д окажем, что плоскости α и β параллельны.

Предположим противное, т.е., что плоскости α и β пересекаются, и пусть c - линия их пересечения. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая a 1 параллельна плоскости β , а по свойству параллельности прямой и плоскости, она параллельна прямой c . Аналогично, прямая a 2 также параллельна прямой c . Таким образом, в плоскости α мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, что невозможно. С ледовательно, плоскости α и β параллельны.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Верно ли утверждение: "Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны"?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Верно ли утверждение: "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны”?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 3

Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 4

Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 5

Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Можно ли утверждать, что эти плоскости параллельны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 6

Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 7

Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 8

Можно ли признак параллельности двух плоскостей сформулировать следующим образом:

а) если прямая одной плоскости параллельна прямой другой плоскости, то плоскости параллельны;

б) если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны;

в) если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то плоскости параллельны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) Нет;

б) Нет;

в) да.

Упражнение 9

Для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 докажите параллельность плоскостей ABC и A 1 B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и AD , лежащие в плоскости ABC , соответственно параллельны прямым A 1 B 1 и A 1 D 1 , лежащим в плоскости A 1 B 1 C 1 . Следовательно, плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны.

Упражнение 10

Для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 докажите параллельность плоскостей AB 1 D 1 и BDC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB 1 и AD 1 , лежащие в плоскости AB 1 D 1 , соответственно параллельны прямым DC 1 и BC 1 , лежащим в плоскости BDC 1 . Следовательно, плоскости AB 1 D 1 и BDC 1 параллельны.

Упражнение 11

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани куба A…D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Каждая грань участвует в одной паре параллельных плоскостей. У куба имеется 6 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно

15

Упражнение 12

Являются ли параллельными плоскости:

а) ABB 1 и CDD 1 ;

б) ABB 1 и DEE 1 ;

в) ABB 1 и CEE 1 ;

г) ABB 1 и CFF 1 ;

д) ABB 1 и CFE 1 ,

проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) Нет;

б) да;

в) нет;

г) да;

д) нет.

Упражнение 1 3

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости ABB 1 и DEE 1 параллельны .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и AA 1 , лежащие в плоскости ABB 1 , соответственно параллельны прямым DE 1 и EE 1 , лежащим в плоскости DEE 1 . Следовательно, плоскости ABB 1 и DEE 1 параллельны.

Упражнение 1 4

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости AB 1 F 1 и CED 1 параллельны .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB 1 и AF 1 , лежащие в плоскости AB 1 F 1 , соответственно параллельны прямым ED 1 и CD 1 , лежащим в плоскости CED 1 . Следовательно, плоскости AB 1 F 1 и CED 1 параллельны.

Упражнение 1 5

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 плоскости AC 1 E 1 и BFD 1 параллельны .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AC 1 и AE 1 , лежащие в плоскости AC 1 E 1 , соответственно параллельны прямым FD 1 и BD 1 , лежащим в плоскости BFD 1 . Следовательно, плоскости AC 1 E 1 и BFD 1 параллельны.

Упражнение 1 6

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. A 1 B 1 C 1 , A 2 B 2 C 2 .

Упражнение 1 7

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и BC , лежащие в плоскости ABC , соответственно параллельны прямым A 1 B 1 и B 1 C 1 , лежащим в плоскости A 1 B 1 C 1 . Следовательно, плоскости ABC и A 1 B 1 C 1 параллельны.

Упражнение 1 8

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 2 и A 1 D 1 C 2 параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AA 2 и A 2 C 2 , лежащие в плоскости ADD 2 , соответственно параллельны прямым A 1 B 2 и B 2 C 2 , лежащим в плоскости A 1 D 1 C 2 . Следовательно, плоскости ADD 2 и A 1 D 1 C 2 параллельны.

Упражнение 1 9

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. BCC 1 , B 2 C 2 C 3 , A 2 D 2 D 3 .

Упражнение 20

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 1 и BCC 1 параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AD и AA 1 , лежащие в плоскости ADD 1 , соответственно параллельны прямым BC и BB 1 , лежащим в плоскости BCC 1 . Следовательно, плоскости ADD 1 и BCC 1 параллельны.

Упражнение 21

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ADD 1 и B 2 C 2 C 3 параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AD и AA 1 , лежащие в плоскости ADD 1 , соответственно параллельны прямым B 2 C 2 и B 2 B 3 , лежащим в плоскости B 2 C 2 C 3 . Следовательно, плоскости ADD 1 и B 2 C 2 C 3 параллельны.

Упражнение 22

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что плоскости ABC и A 3 B 3 C 3 параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и BC , лежащие в плоскости ABC , соответственно параллельны прямым A 3 B 3 и B 3 C 3 , лежащим в плоскости A 3 B 3 C 3 . Следовательно, плоскости ABC и A 3 B 3 C 3 параллельны.

Упражнение 23

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани октаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У октаэдра 8 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно

27

Упражнение 24

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани икосаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У икосаэдра 20 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно

28

Упражнение 25

Сколько имеется пар параллельных плоскостей, содержащих грани додекаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждой грани имеется только одна грань, ей параллельная. У додекаэдра 12 граней. Следовательно, искомое число пар параллельных граней равно

29