Параллельность прямых и плоскостей

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

ПРЯМЫХ И

ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельность прямых и плоскостей

b

Две прямые в пространстве

называются параллельными ,

если они лежат

в одной плоскости и не

пересекаются.

a

α

A

a 1

Прямые, которые

не пересекаются

и не лежат в одной

плоскости, называются

скрещивающимися .

•

А

а

Теорема 2.1. Через точку вне

данной прямой можно провести

прямую, параллельную этой

прямой, и притом только одну.

Признак параллельности прямых

Теорема 2.2. Две прямые, парал-

лельные третьей, параллельны

между собой.

b

а

В

Задача № 1: Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А 1 , В 1 и М 1 . Найдите длину отрезка ММ 1 , если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: АА 1 = 5 м, ВВ 1 = 7 м.

М

•

7

А

5

В 1

А 1

М 1

Решение : Т.к. АА 1 и ВВ 1 параллельны между собой, то четырёхугольник А 1 АВВ 1 - трапеция.

ММ 1 – средняя линия трапеции.

ММ 1 = (АА 1 + ВВ 1 ) / 2 = ( 5 + 7 ) : 2 = 6 (м)

Ответ: 6 м.

а 1

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости

Прямая и плоскость имеют одну общую точку, т.е. они пересекаются

Прямая и плоскость имеют две общие точки.

Тогда по А2 прямая

лежит

в этой плоскости

Прямая и плоскость не имеют общих точек,

т.е. они

параллельны

а 1

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема 2.3 Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Дано: a b, b

Доказать: a

a

M

b

а 1

Следствие 1: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Дано: a , a

Доказать: b a

a

M

b

а 1

Следствие 2: Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо так же параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Задача № 2 : Дан треугольник АВС. Плоскость ,параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А 1 , а сторону ВС - в точке В 1 . Найдите длину отрезка А 1 В 1 , если АВ=15 см, АА 1 : АС = 2 : 3.

В

А

В 1

А 1

С

Решение: треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С. Поэтому составим пропорцию

Задача № 3 : Докажите, что середины сторон

пространственного

четырёхугольника являются

вершинами параллелограмма.

B

N

M

C

K

А

D

L

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ !