Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Параллельность прямых и плоскостей.

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

1. Параллельные прямые в пространстве.

2. Параллельность трёх прямых.

3. Параллельность прямой и плоскости.

Существует четыре варианта взаимного расположения прямых в трёхмерном пространстве: прямые могут пересекаться; могут быть параллельными; могут быть скрещивающимися и могут совпадать.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

На рисунках показано, что прямые и лежат в разных плоскостях. Они не пересекаются и не параллельны, значит, через них нельзя провести плоскость. Эти прямые скрещивающиеся.

Для определённости, введём признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: . Доказать: и – скрещивающиеся.

Доказательство. Предположим, что прямые и лежат в одной плоскости . Тогда прямая и точка лежат в плоскости . Значит, плоскости и совпадают. Поэтому и прямая лежит в плоскости , что противоречит условию (). Значит, предположение, что прямые и лежат в одной плоскости неверно, т.е. и лежат в разных плоскостях, значит, являются скрещивающимися, ч.т.д.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и, притом, только одну.

Дано: Прямые и – скрещивающиеся. Доказать: .

Доказательство.

1. Через точку , не лежащую на прямой , можно провести прямую, параллельную , и, притом, только одну. Это прямая .

2. Через две пересекающиеся прямые и можно провести единственную плоскость .

3. Так как .

4.  Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через , будет пересекаться с  и , которая ей параллельна.

5. Итак, , ч.т.д.

Углы между прямыми в пространстве.

1. Если прямые параллельны, то угол между ними .

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол ).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Теорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и, притом, только одну.

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

1. По определению параллельных прямых, и лежат в одной плоскости, обозначим её .

2. Докажем, что такая плоскость единственная. На прямой выбираем точки и , а на прямой точку .

3. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые и .

4. Значит, , ч.т.д.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну.

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

1. Через данную прямую и точку , которая не лежит на прямой, проводится плоскость .

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и, притом, только одну).

3. А в плоскости через точку можно провести только одну прямую , которая параллельна прямой .

4. Итак, , ч.т.д.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

1. Рассмотрим две параллельные прямые и и допустим, что прямая a пересекает плоскость в точке M (1. рис.).

2. Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые и можно провести только одну плоскость .

3. Так как точка M находится на прямой , то M также принадлежит плоскости (2. рис.). Если у плоскостей и есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая , которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

4 Прямые и находятся в плоскости .

5. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых пересекает прямую , то вторая прямая тоже пересекает .

6. Точку пересечения прямых и обозначим через Так как точка находится на прямой , то находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой и плоскости .

Значит, прямая пересекает плоскость в точке , ч.т.д.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

1. На прямой выберем точку .

2. Проведём плоскость через точку и прямую (теорема 2).

3.1. Если , то (т.к. ). Значит, и , т.к. . Это противоречит тому, что прямая лежит в плоскости . Значит, предположение, что неверно, т.е. .

3.2. Если , тогда предположим, что . Значит, через одну точку проведены две прямые, которые параллельны прямой . А это невозможно, т.к. такая прямая существует только одна. Значит, предположение, что неверно, т.е. , ч.т.д.

Пучком параллельных прямых называется всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой.

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в трёхмерном пространстве:

1. прямая лежит в плоскости;

2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку (пересекаются);

3. прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 5 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

1. Предположим, что , тогда .

2. Так как , то .

3. По признаку скрещивающихся прямых, прямые и – скрещиваются. А это противоречит условию, что . Поэтому, наше предположение было неверным, и , ч.т.д.

Теорема 6. Если плоскость проходит через данную прямую , параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой , то .

Дано: . Доказать: .

Доказательство.

Предположим, что , тогда . Значит, прямая и плоскость имеют общую точку , т.е. , что противоречит условию, что .

Мы пришли к противоречию с условием, значит, сделали неверное предположение. Поэтому, , ч.т.д.

Теорема 7. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Дано: . Доказать:

Доказательство.

Так как , то прямая не пересекает плоскость . Тогда, по теореме 3 о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая тоже не пересекает плоскость А это значит, что прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней, ч.т.д.

1. Вершины и параллелограмма лежат в одной плоскости. Докажите, что вершина лежит в этой же плоскости.

1. Треугольник и квадрат не лежат в одной плоскости. Точки и – середины отрезков и соответственно.

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см.

1. Квадрат и трапеция не лежат в одной плоскости. Точки и – середины отрезков и соответственно.

1. Докажите, что

2. Найдите , если см, см.

1. Отрезок не пересекается с плоскостью . Через концы отрезка и его середину – точку проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и соответственно.

1. Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

2. Найдите , если см, см.

1. Через конец отрезка проведена плоскость . Через точку – середину отрезка , и точку проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и соответственно.

1. Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

2. Найдите , если см.

1. Прямые и скрещивающиеся. Прямые и пересекают данные прямые. Докажите, что и скрещиваются.

1. Прямая пересекает прямые и . Докажите, что прямые и лежат в одной плоскости.

1. Прямая пересекает параллельные прямые и . Докажите, что прямые и лежат в одной плоскости.

1. Даны две пересекающиеся прямые и . Прямая параллельна прямой и пересекает прямую . Докажите, что прямые и лежат в одной плоскости.

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Точки и – середины отрезков и соответственно.

1. Докажите, что – параллелограмм.

2. Найдите периметр , если см, см.

1. Точка лежит вне плоскости . Докажите, что прямые и скрещивающиеся.

1. Прямая не принадлежит плоскости треугольника и пересекает сторону в точке . Прямая параллельна стороне и проходит через точку . Докажите, что прямые и скрещивающиеся.

1. Точка не лежит в плоскости треугольника . Точки и – середины отрезков и соответственно.

1. Докажите, что – параллелограмм.

2. Найдите , если см, а периметр равен 14 см.

1. Отрезок пересекает плоскость в точке . Через точки и проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

1. Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

2. Найдите , если см, см, см.

1. Через конец отрезка проведена плоскость . Через точку и точку , лежащую на отрезке , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

1. Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

2. Найдите , если см, см, см.

1. Докажите, что все прямые, пересекающие каждую из двух параллельных прямых, лежат в одной плоскости.

1. Докажите, что прямые, параллельные одной из двух пересекающихся прямых и пересекающие другую, лежат в одной плоскости.

1. Точка , лежащая вне плоскости треугольника , соединена с его вершинами. Точки и – точки пересечения медиан со сторонами треугольников и соответственно.

1. Докажите, что – трапеция.

2. Найдите , если см.

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Точки и – точки пересечения медиан со сторонами треугольников и соответственно.

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см.

1. Дан параллелограмм и плоскость , не пересекающая его. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

1. Найдите , если см, см, см.

2. Найдите , если см, см, см.

1. Через прямую проведена плоскость , а через прямую – плоскость . Плоскости и пересекаются по прямой . Докажите, что если не пересекается с и , то .

1. Прямая не имеет общих точек с плоскостью . Через прямую проведены плоскости и , пересекающиеся с плоскостью по прямым и соответственно. Докажите, что .

1. Плоскость проходит через основание трапеции . Точки и – середины отрезков и соответственно. Докажите, что .

1. Плоскость проходит через сторону треугольника . Точки и – середины отрезков и соответственно. Докажите, что .

1. В треугольнике на стороне выбрана точка такая, что . Плоскость, параллельная прямой и проходящая через точку , пересекает отрезок в точке .

1. Докажите подобие треугольников и .

2. Найдите , если см.

1. Точка лежит на отрезке , причём, . Через точку проведена плоскость , а через точку – отрезок , параллельный . Прямая пересекает плоскость в точке .

1. Докажите подобие треугольников

2. Найдите , если см.

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Плоскость , параллельная прямой , пересекает плоскости и по прямым и соответственно. Докажите, что и .

1. Параллельные прямые и лежат в плоскости . Через прямую проведена плоскость , а через прямую – плоскость так, что плоскости и пересекаются по прямой . Докажите, что .

1. Точка лежит в плоскости , параллельной прямой . Через точку проведена прямая , параллельная прямой . Докажите, что прямая лежит в плоскости .

1. Прямые и параллельны. Через точку , лежащую на прямой , проведена плоскость , параллельная прямой . Докажите, что плоскость проходит через прямую .

1. На стороне параллелограмма выбрана точка так, что см. Плоскость, параллельная диагонали , проходит через точку и пересекает сторону в точке .

1. Докажите подобие треугольников и .

2. Найдите , если см, см.

1. На стороне параллелограмма выбрана точка так, что см. Плоскость, параллельная диагонали , проходит через точку и пересекает сторону в точке .

1. Докажите подобие треугольников и .

2. Найдите , если см, см.

1. Докажите, что если каждая из двух пересекающихся плоскостей параллельная данной прямой, то линия их пересечения также параллельная этой прямой.

1. Точка не лежит в плоскости параллелограмма . Докажите, что линия пересечения плоскостей и параллельна плоскости параллелограмма.

1. Отрезки и не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке , являющейся серединой каждого из них. Докажите, что прямая параллельна плоскости .

1. Через точку – точку пересечения диагоналей параллелограмма , проведена прямая , не лежащая в плоскости , причём, – середина отрезка . Докажите, что прямая параллельна плоскости .

1. Точка не лежит в плоскости параллелограмма . На отрезке выбрана точка так, что .

1. Постройте точку – точку пересечения прямой с плоскостью .

2. Найдите , если см.

1. Точка не лежит в плоскости ромба . На отрезке выбрана точка так, что .

1. Постройте точку – точку пересечения прямой с плоскостью .

2. Найдите , если см.

1. Плоскости и попарно пересекаются. Докажите, что, если существует прямая, параллельная двум из данных плоскостей и пересекающая третью плоскость, то плоскости и имеют только одну общую точку (рассмотрите три случая взаимного расположения плоскостей).

1. Плоскости и попарно пересекаются. Докажите, что, если не существует прямой, параллельной каждой из данных плоскостей, то плоскости и имеют только одну общую точку (рассмотрите три случая взаимного расположения плоскостей).

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой с прямой . Ответ обоснуйте.

1. Прямые и – скрещивающиеся. Известно, что прямая лежит в плоскости . Определите, может ли прямая

1. лежать в плоскости

2. быть параллельной плоскости

3. пересекать плоскость

Ответы подтвердите чертежами или обоснованиями.

1. Прямые и – скрещивающиеся. Известно, что прямая параллельна плоскости . Определите, может ли прямая

1. лежать в плоскости

2. быть параллельной плоскости

3. пересекать плоскость

Ответы подтвердите чертежами или обоснованиями.

1. Прямая параллельна плоскости . Постройте прямую, лежащую в плоскости и скрещивающуюся с прямой .

1. Точка не лежит на прямой . Постройте прямую, проходящую через точку и скрещивающуюся с прямой .

1. Дан куб . Укажите три прямые, проходящие:

1. через точку и скрещивающиеся с прямой ;

2. через точку и скрещивающиеся с прямой .

Дайте обоснование ответа.

1. Сформулируйте утверждение, обратное признаку скрещивающихся прямых. Будет ли оно верным? Почему?

1. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению о существовании плоскости, проходящей через одну из двух скрещивающихся прямых параллельно другой прямой. Будет ли оно верным? Почему?

1. Даны пересекающиеся прямые и , и точка , не принадлежащая им. Постройте прямую, проходящую через точку и скрещивающуюся с прямыми и .

1. Даны параллельные прямые и , и точка , не принадлежащая им. Постройте прямую, проходящую через точку и скрещивающуюся с прямыми и .

2. Дан куб . Укажите в данном кубе количество пар скрещивающихся рёбер; скрещивающихся диагоналей граней. Дайте обоснование взаимного расположения для одной из этих пар.

1. Плоскости и пересекаются по прямой , которая является скрещивающейся с прямой . Докажите, что прямая пересекает хотя бы одну из плоскостей и .

1. Плоскости и имеют только одну общую точку. Докажите, что любая прямая, параллельная линии пересечения плоскостей и , является скрещивающейся хотя бы с одной из двух других прямых пересечения данных плоскостей.

1. Прямая лежит в плоскости , а прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на прямой . Постройте прямую, проходящую через данную точку пространства и скрещивающуюся с прямыми и . Для любой ли точки такое построение возможно?

1. Прямые и – скрещивающиеся, точка не лежит ни на одной из них. Постройте прямую проходящую через точку и пересекающую и . При каком расположении точки относительно и это возможно?

1. Докажите, что четырёхугольник является плоским, если:

1. его диагонали пересекаются;

2. продолжения двух его противолежащих сторон пересекаются.

Верно ли обратное утверждение? Ответ объясните.

1. – замкнутая пространственная ломаная. Середины четырёх её звеньев лежат в одной плоскости. Лежит ли в этой плоскости середина пятого звена? Ответ объясните.

1. – замкнутая пространственная ломаная. Середины всех её звеньев лежат в одной плоскости. Сколько вершин данной ломаной лежит в той же плоскости? Ответ объясните.

1. Через точки и , лежащие на прямой , проведены прямые и , перпендикулярные к , причём, точки и выбраны так, что отрезки и равны. Определите, могут ли прямые и :

1. быть параллельными;

2. пересекаться;

3. быть скрещивающимися.

Для каждого возможного случая опишите условия, при которых он реализуется.

1. Дана прямая и точки и , не принадлежащие ей. Постройте плоскость, проходящую через точки и и параллельную . Сколько существует таких плоскостей в зависимости от расположения и ?

1. Даны прямые и , и точка , не принадлежащая им. Постройте плоскость, проходящую через точку , и параллельную и . Сколько существует таких плоскостей в зависимости от расположения и ?

1. Каждая их плоскостей и пересекается с двумя другими. Определите, возможно ли в этом случае выполнение следующих условий:

1. любая прямая, пересекающая одну из данных плоскостей, пересекает две другие;

2. любая прямая, пересекающая две данные плоскости, пересекает и третью плоскость;

3. любая прямая, параллельная двум данным плоскостям, параллельна третьей плоскости, или лежит в ней;

4. любая прямая, параллельная одной из данных плоскостей, параллельна двум другим, или лежит хотя бы в одной из них;

5. существует прямая, пересекающая все три данные плоскости;

6. существует прямая, параллельная всем данным плоскостям;

7. существует прямая, параллельная двум данным плоскостям, и пересекающая третью плоскость;

8. существует прямая, пересекающая две данные плоскости, и параллельная третьей плоскости.

Утвердительные ответы проиллюстрируйте, отрицательные ответы обоснуйте.

1. Прямые и пересекаются. Прямая является скрещивающейся с прямой . Могут ли прямые и быть параллельными?

1. Прямые и пересекаются. Прямые и параллельны. Могут ли прямые и быть скрещивающимися?

1. Плоскость проходит через середины боковых сторон и трапеции – точки и .

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см, см.

1. Плоскость проходит через основание трапеции . Точки и – середины боковых сторон трапеции.

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см, см.

1. Прямая проходит через вершину квадрата и не лежит в плоскости квадрата.

1. Докажите, что и – скрещивающиеся прямые.

2. Найдите угол между прямыми и , если .

1. Прямая проходит через вершину треугольника и не лежит в плоскости .

1. Докажите, что и – скрещивающиеся прямые.

2. Найдите угол между прямыми и , если .

1. Прямая параллельна плоскости , а прямая лежит в плоскости . Определите, могут ли прямые и :

1. быть параллельными;

2. пересекаться;

3. быть скрещивающимися.

1. Прямая параллельна плоскости , а прямая пересекает плоскость . Определите, могут ли прямые и :

1. быть параллельными;

2. пересекаться;

3. быть скрещивающимися.

1. Точка не лежит в плоскости трапеции .

1. Докажите, что треугольники и имеют параллельные средние линии.

2. Найдите длины этих средних линий, если , а средняя линия трапеции равна см.

1. Треугольник и трапеция имеют общую среднюю линию , причём, .

1. Докажите, что .

2. Найдите и , если см.

1. Через вершину квадрата проведена прямая , не лежащая в плоскости квадрата.

1. Докажите, что и – скрещивающиеся прямые.

2. Найдите угол между прямыми и , если

1. Точка не лежит в плоскости ромба .

1. Докажите, что и – скрещивающиеся прямые.

2. Найдите угол между прямыми и , если

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямая параллельна прямой и является скрещивающейся с прямой . Определите, могут ли прямые и :

1. лежать в одной из данных плоскостей;

2. лежать в разных плоскостях и ;

3. пересекать плоскости и .

В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых и .

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямые и пересекаются, а прямые и параллельны. Определите, могут ли прямые и :

1. лежать в одной из данных плоскостей;

2. лежать в разных плоскостях и ;

3. пересекать плоскости и .

В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых и .

1. Плоскость пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно, причём, .

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см.

1. Плоскость проходит через сторону треугольника . Прямая пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно, причём, .

1. Докажите, что .

2. Найдите , если см.

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми и , если , , а расстояние между серединами отрезков и равно .

1. Точки и не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми и , если см, а расстояние между серединами отрезков и равно см.

1. – пространственный четырёхугольник. Точки и – середины сторон и соответственно. Найдите периметр четырёхугольника , если

.

1. Дан пространственный шестиугольник . и – медианы треугольников и соответственно, точки и – середины медиан и соответственно. Прямые и параллельны, . Найдите .

1. Дан пятиугольник . Прямые и параллельны, точки и – середины сторон и соответственно, . Докажите, что точки и лежат в плоскости .

1. Точка лежащая вне плоскости параллелограмма , соединена с его вершинами. Указать пары параллельных прямых и плоскостей.

1. Точка лежащая вне плоскости трапеции с основаниями и , соединена с вершинами с концами основания . Докажите, что .

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямые и параллельны, причём, прямая лежит в плоскости , а прямая – в плоскости . Докажите, что прямые , и – параллельны.

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямая параллельна обеим этим плоскостям. Докажите, что прямые и параллельны.

1. Прямая пересекает плоскость в точке . Прямая параллельна прямой . Докажите, что прямая пересекает плоскость .

1. Прямая имеет общую точку с плоскостью . Прямая параллельна прямой , и параллельна плоскости . Докажите, что прямая лежит в плоскости .

1. Плоскость пересекает стороны и треугольника в точках и соответственно. . Найдите .

9