Параллелограмм, его свойства. Признаки параллелограмма.

Параллелограмм.

Приступаем к изучению разных видов четырёхугольников.

Определение. Параллелограммом называется выпуклый четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны.

– параллелограмм. У него .

Рассмотрим свойства параллелограмма.

ТЕОРЕМА. У параллелограмма противолежащие стороны и углы равны.

Дано: – параллелограмм

Доказать:

Доказательство.

1. Проведём диагональ . Рассмотрим и .

2. и ; и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит,

.

3. Итак, , ч.т.д.

ТЕОРЕМА. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Дано: – параллелограмм

и – диагонали

Доказать:

Доказательство.

1. Т.к. параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, то, по свойству выпуклых многоугольников, его диагонали пересекаются, т.е. .

2. Рассмотрим и .

по II признаку равенства треугольников , ч.т.д.

Итак, параллелограмм обладает двумя свойствами:

1. Противолежащие стороны и углы параллелограмма равны.

2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма.

Часто бывает ситуация, когда известны какие-то свойства четырёхугольника, а какой вид имеет этот четырёхугольник неизвестно. В этом случае помогут признаки параллелограмма.

ТЕОРЕМА (I признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – параллелограмм.

Доказательство.

Проведём диагональ и рассмотрим и .

. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и , значит, по признаку параллельности прямых, .

Итак, в четырёхугольнике , т.е. стороны попарно параллельны, значит, – параллелограмм (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – параллелограмм.

Доказательство.

Проведём диагональ и рассмотрим и .

и . А эти пары углов являются внутренними накрест лежащими. По признаку параллельных прямых: «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», делаем вывод, что , а . По определению параллелограмма, данный четырёхугольник является параллелограммом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

Дано: – четырёхугольник,

и – диагонали, ,

Доказать: – параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников и . А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и , значит, .

Мы доказали, что в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны ( ), значит, по I признаку, этот четырёхугольник является параллелограммом, ч.т.д.

1. Начертите параллелограмм . Проведите в нём диагонали и . Обозначьте их точку пересечения буквой .

1. Найдите длину отрезка , если известно, что диагональ см.

2. Чему равна диагональ , если известно, что отрезок см?

3. Найдите периметр треугольника , если сторона равна см, а диагонали и равны см и см соответственно.

1. Две стороны параллелограмма равны см и см. Найдите периметр параллелограмма.

2. Сумма двух противолежащих углов параллелограмма равна . Чему равны эти углы?

3. Периметр параллелограмма равен см. Одна из его сторон равна см. Определите остальные стороны параллелограмма.

4. Найдите углы параллелограмма, если известно, что один из них равен сумме двух других углов параллелограмма.

5. Одна из сторон параллелограмма равна см, а другая – в раза меньше. Найдите периметр параллелограмма.

6. Высоты параллелограмма равны см и см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до одной из меньших сторон.

7. В параллелограмме сторона см, диагонали равны см и см, точка – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника ?

8. В параллелограмме один угол равен . Найдите остальные углы параллелограмма.

9. В треугольнике . Из точки, взятой на стороне , проведены две прямые, параллельные сторонам и . Определите вид получившегося четырёхугольника и все его углы.

10. Четырёхугольник – параллелограмм, отрезки равны. Докажите, что также является параллелограммом.

1. Диагональ параллелограмма продолжена на равные отрезки и . Докажите, что также является параллелограммом.

1. В параллелограмме биссектриса угла пересекает сторону в точке , причём, . Найдите периметр параллелограмма.

2. Диагональ параллелограмма составляет со сторонами параллелограмма углы в и . Найдите углы параллелограмма.

3. Стороны параллелограмма относятся как , а его периметр равен см. Найдите стороны параллелограмма.

4. В четырёхугольнике . Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке . Найдите периметр .

5. Из вершины параллелограмма с острым углом проведён перпендикуляр к прямой . Найдите и .

6. В выпуклом четырёхугольнике . Докажите, что .

7. Середина отрезка является центром окружности с диаметром , причём, точки не лежат на одной прямой. Докажите, что .

8. Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей диагонали и углу между ними.

9. В четырёхугольнике – точка пересечения диагоналей. Периметр треугольника равен см, см, см. Найдите .

10. Дан параллелограмм с острым углом . Из вершины опущен перпендикуляр к прямой . Найдите и .

11. В выпуклом шестиугольнике все стороны равны, . Докажите, что .

12. Дан параллелограмм . На продолжении диагонали за вершины и отмечены точки и соответственно так, что . Докажите, что .

13. Постройте параллелограмм по меньшей стороне, острому углу и углу между этой стороной и меньшей диагональю.

14. Одна сторона параллелограмма втрое больше другой стороны. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен см.

15. В параллелограмме с острым углом из вершины проведён перпендикуляр к прямой . Найдите углы параллелограмма, если .

16. Один из углов параллелограмма на меньше другого. Найдите углы параллелограмма.

17. В параллелограмме с острым углом из вершины проведён перпендикуляр к прямой . Найдите углы параллелограмма, если .

18. Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.

19. На диагонали параллелограмма отмечены две точки и так, что . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

20. На сторонах и параллелограмма вне его построены правильные треугольники и . Докажите, что треугольник равносторонний.

21. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если .

22. Угол параллелограмма меньше угла . Докажите, что .

23. В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .

1. Докажите, что треугольник равнобедренный.

2. Найдите сторону , если см, а периметр параллелограмма равен см.

1. На стороне параллелограмма взята точка так, что .

1. Докажите, что – биссектриса угла .

2. Найдите периметр параллелограмма, если см, см.

1. В выпуклом четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке . – медиана треугольника , – медиана треугольника . Докажите, что – параллелограмм.

2. Прямая параллельна стороне параллелограмма и пересекает стороны и в точках и соответственно. Докажите, что – параллелограмм.

3. В проведена медиана . На её продолжении за точку отложен отрезок , равный . Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом.

4. С тороны и треугольника продолжены на точку так, что . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

5. – параллелограмм, . Найдите .

6. Одна из сторон параллелограмма на см больше другой. Периметр параллелограмма равен см. Найдите стороны параллелограмма.

7. В параллелограмме диагональ перпендикулярна стороне и равна ей. Найдите углы параллелограмма.

8. Периметр параллелограмма равен см. Найдите длины сторон, если известно, что диагональ параллелограмма делит угол на части и .

9. В параллелограмме из вершины тупого угла проведена высота к стороне так, что . Найдите углы параллелограмма.

10. Найдите длины высот параллелограмма, если известно, что стороны см и см, а углы относятся как .

11. Найдите углы параллелограмма, если известно, что один из них в раз меньше суммы всех остальных углов параллелограмма.

12. В треугольнике проведена медиана и продолжена на свою длину за точку . Найдите периметр четырёхугольника , если периметр треугольника равен см, см.

13. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол . Найдите углы параллелограмма.

14. Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите периметр параллелограмма, если см, см.

15. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол . Найдите углы параллелограмма.

16. Периметр параллелограмма равен см. Биссектрисы углов и пересекаются на стороне . Найдите длины сторон параллелограмма.

17. Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите углы параллелограмма, если известно, что .

18. Периметр параллелограмма равен см. Биссектриса угла и биссектриса угла делят сторону на три равные части так, что точка лежит между точками и . Найдите длины сторон параллелограмма.

19. Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите углы параллелограмма, если известно, что .

20. Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в её середине . Периметр треугольника равен см, а длина отрезка больше стороны на см. Найдите периметр параллелограмма.

5