Параллелограмм,его свойства и признаки

Четырехугольник. Параллелограмм

Четырёхугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков (причем никакие три точки не лежат на одной прямой и отрезки не пересекаются).

Вершины – А В С Д

Стороны – АВ ВС СД ДА

Вершины четырехугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

Противоположные вершины – А и С,D и Д

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними.

Противоположные стороны - АД и ВС, АВ и ДС

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий две противополож-

ные вершины.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360^о

Параллелограмм – это четырехугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны.

АВ ║CD

AD║ BC → ABCD –

Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. (∠А =∠С, ∠В = ∠D)

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

(АО = ОС, ВО = ОD)

1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна 180^о.

(∠А + ∠В = 180^о, ∠А + ∠D = 180^о)

1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

( АС – диагональ → ∆ АВС = ∆ АDC)

Признаки параллелограмма

Теорема. 1-й признак параллелограмма

Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Дано:

АВ=СD

АВ║СD

Док-ть:

АВСD – парал-м

Док-во:

1. Проведем диагональ АС, рассмотрим ∆ АВС и ∆ АDС

АС – общая

АВ=СD (по условию) ∆ АВС = ∆ АDС

∠1 =∠2 (как накр. леж. при АВ║СD и сек. АС) (по 1 пр)

1. ∆ АВС = ∆ АDС → ∠3 =∠4

∠3 и ∠4 –накр. леж. при АD и ВС и сек. АС → АD ║ ВС

1. АВ║СD (по усл)

АD ║ ВС → АВСD – парал-м

Теорема. 2-й признак параллелограмма

Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Дано:

АВ=СD

АD=ВС

Док-ть:

АВСD – парал-м

Док-во:

1. Проведем диагональ АС, рассмотрим ∆ АВС и ∆ АDС

АС – общая

АВ=СD (по условию) ∆ АВС = ∆ АDС (по 3 пр)

АD=ВС(по условию)

1. ∆ АВС = ∆ АDС → ∠1 =∠2

∠1 и ∠2 - накр. леж. при АВ и СD и сек. АС → АВ║СD

1. АВ=СD (по условию)

АВ║СD → АВСD – парал-м (по 1 пр. парал-ма)

Теорема. 3-й признак параллелограмма

Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Дано:

АО=ОС

ВО=DО

Док-ть:

АВСD – парал-м

Док-во:

1. Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОD

АО=СО (по условию)

ВО=DО (по условию) ∆ АОВ = ∆ СОD (по 1 пр)

∠АОВ =∠СОD (верт.)

1. ∆ АОВ = ∆ СОD → ∠1 =∠2 и АВ=СD

2. ∠1 и ∠2 - накр. леж. при АВ и СD и сек. АС → АВ║СD

∠1 =∠2

1. АВ=СD

АВ║СD → АВСD – парал-м (по 1 пр. парал-ма)