8 класс геометрия
Четырехугольники
Урок № 2
Параллелограмм
Подготовила:
Филипова Е.К.
Цели:
- Ввести понятие параллелограмма.
- Рассмотреть свойства параллелограмма.
- Рассмотреть признаки параллелограмма.
- Решение базовых задач.
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
Параллелограмм – четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно параллельны.
С
В
А
D
ABCD – параллелограмм.
AB II CD, DC II AD.
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
Свойства параллелограмма
В
С
1
А
D
В параллелограмме противоположные
стороны равны и противоположные
углы равны.
∠ 1 = ∠2, ∠3 = ∠4
ВС = AD, АВ = СD
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
3
4
Свойства параллелограмма
В
С
2
О
D
А
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
ВО = ОD, АО = ОС
О – точка пересечения диагоналей
4
www.konspekturoka.ru
30.11.2012
Свойства параллелограмма
С
В
3
D
А
В параллелограмме сумма углов , прилежащих к одной стороне, равна 180 °.
∠ D + ∠C = 180 ° ,
∠ А + ∠D = 180 ° ,
∠ В + ∠C = 180 ° ,
∠ А + ∠B = 180 ° ,
www.konspekturoka.ru
5
30.11.2012
1
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны,
то этот четырехугольник параллелограмм.
В
С
А
D
АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, АВ ∥ CD
Дано:
Доказать:
АВСD – параллелограмм
Доказательство
www.konspekturoka.ru
6
30.11.2012
1
Доказательство
В
С
3
2
Пусть АВ = СD и АВ ∥ СD,
проведем диагональ АС.
Рассмотрим треугольники
∆ АBC и ∆ ACD:
1
4
А
D
∆ АBC = ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними
(АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС.
Поэтому ∠3 = ∠ 4.
Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых
ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.
Таким образом, если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -
параллелограмм.
www.konspekturoka.ru
30.11.2012
2
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
В
С
А
D
АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, ВС = АD
Дано:
Доказать:
АВСD – параллелограмм
Доказательство
www.konspekturoka.ru
8
30.11.2012
2
Доказательство
В
С
3
АВСD- четырехугольник,
АВ = CD, ВС = АD.
2
Проведем диагональ АС.
Рассмотрим треугольники
∆ АBC и ∆ ACD:
1
4
А
D
∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам
(АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию).
Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.
Отсюда следует, что АВ ∥ СD.
Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
3
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
С
В
О
А
D
АВСD – четырехугольник,
ВО = ОD, АО = ОС
Дано:
Доказать:
АВСD – параллелограмм
Доказательство
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
10
3
Доказательство
С
В
АВСD – четырехугольник,
ВО = ОD, АО = ОС.
2
3
О
Проведем диагонали АС и BD.
Рассмотрим треугольники
∆ АОB и ∆ CОD:
1
4
D
А
∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников
(ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)
Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.
Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.
Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD,
то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
1
Задача
АВСD – четырехугольник,
∠ BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA
Дано:
Доказать:
АВСD – параллелограмм.
Доказательство
С
В
Рассмотрим треугольники ∆ АBC
и ∆ ACD:
1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – по
условию, АС – общая;
следовательно ∆ АBC = ∆ ACD – по
стороне и двум прилежащим углам;
поэтому ВС = AD.
D
А
2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при
параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.
3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.
www.konspekturoka.ru
30.11.2012
12
Ответить на вопросы:
- Какая фигура называется параллелограммом?
- Докажите, что в параллелограмме противоположные
стороны и углы равны.
- Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой
пересечения делятся пополам.
- Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
Спасибо за внимание!
30.11.2012
13
www.konspekturoka.ru