"Параллельность плоскостей" (урок по геометрии).

Урок геометрии в 10 классе по теме «Параллельность плоскостей»

Учитель математики

МОУ «Малореченская школа»

Перелыгина Е.А.

«Параллельный мир - нечто, состоящее из слов и линий»

Помню снов тоску. Тогда перед зеркалом стоял и взгляд находил, растворял. Мысли бились друг о друга. Так, бильярдные шары у вечерней пустоты откалывают штукатурку звуков. Так, будильник-сфинкс равнодушно и угрюмо кожу чувств царапает, глотает. Но в молчанье свой предел. Всполохнутся мошки бликов, солнце-сердце растопит все снега. Это прошлое взбунтует и вздохнет уснувшая мечта.

Анатолий Кудрявцев

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Плоскости

Пересекаются

Параллельны

α

α

β

β

α || β

α ∩ β

Параллельные плоскости в природе

Если стоять спиной к водопаду, скалы образуют геометрически правильные параллельные плоскости

Параллельные плоскости в технике

Параллельные плоскости «летают»

Параллельные плоскости в быту

• В своей сущности и основе геометрия –это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой
• В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.
• Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Параллельные плоскости в искусстве

• Д.Грин
• «Мечты»

• Силуэты мальчика расположены в параллельных плоскостях

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey)

• Жос де Мей (Jos de Mey) родился в 1928 году в Бельгии. Первые его работы были основаны на использовании различных математических законов и последовательностей, таких как ряд Фибоначчи и золотое сечение, но с 1976 года он с особой выразительностью стал использовать обман зрения, наряду с точным воспроизведением материалов и эффекта света и тени. Изображение невозможных фигур как таковых только увеличивает кажущуюся реалистичность.

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey )

• Часто на картинах Жоса де Мея изображена сова.
• Эта птица в Голландии имеет двоякое значение, с одной стороны – она является символом теоретических знаний, а с другой стороны – совой голландцы называют человека, которые выглядит глупо.

Невозможные фигуры возможны !

• Речной вокзал в Твери. Кстати, это место, где снимали несколько сцен фильма "Чучело". От этой пристани в финале фильма отходит пароход. Неправильно направленный на объект фотоаппарат сделал параллельные плоскости непараллельными

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Плоскости

Пересекаются

Параллельны

α

β

α

β

α || β

α ∩ β

Признак параллельности плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

• а  α; в  α; а∩в=М;
• а 1  β; в 1  β;
• а║а 1 ; в║в 1
• Доказать,
• что α || β

b

а

М

α

b 1

а 1

М 1

β

Доказательство от противного

• а  α; а 1  β; а║а 1  а║β

в  α; в 1  β; в║в 1  в║β

• Пусть α ∩ β = с
• Тогда
• а || β, α ∩ β = с  а || с.
• b || β, α ∩ β = с  b || с.

• а ∩ в=М; а║с; и в║с  а||b

• Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
• Предположение α ∩ β = с - неверно

b

а

М

с

α

b 1

а 1

М 1

β

Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?

а  α; а 1  β; а║а 1  а║β; в  α;

в 1  β; в║в 1  в║β

Признак параллельности прямой и плоскости

Пусть α ∩ β = с

Делаем предположение, противное заключению

Тогда

а ∩ в=М; а║с; и в║с  а||b

а || β, α ∩ β = с  а || с.

Теорема о линии пересечения плоскостей

Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.

b || β, α ∩ β = с  b || с.

Теорема о параллельности трех прямых в пространстве

Теорема о параллельных прямых

Предположение

α ∩ β = с - неверно

Делаем вывод, α || β

Задача № 51. (еще один признак параллельности)

Дано: т ∩ n = К, т Є α, n Є α,

т || β, n || β.

Доказать: α || β.

п

т

К

α ∩ β = с

1) Допустим, что ___________

с

α

п || β, т || β

2) Так как __________________,

то ______________________.

т || с и п || с

β

• Получаем, что

______________________________________________________.

через точку К проходят две прямые параллельные прямой с.

Вывод:

α || β

Задача № 53.

Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2

О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2

А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2

Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2

С 1

А 1

В 2

О

В 1

А 2

С 2

Задача № 53. Дано: отрезки А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А 1 В 1 С 1 ║А 2 В 2 С 2 .

Доказательство:

А 1 А 2 , и В 1 В 2 лежат в одной плоскости по следствию из А 1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

А 1 В 1 А 2 В 2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А 1 В 1 ║ А 2 В 2

Аналогично А 1 А 2 , и С 1 С 2 лежат в одной плоскости. А 1 С 1 А 2 С 2 - параллелограмм.

Отсюда, А 1 С 1 ║ А 2 С 2

А 1 В 1 ∩ А 1 С 1 =А 1 ; А 2 В 2 ∩ А 2 С 2 = А 2 .

По признаку параллельности плоскостей А 1 В 1 С 1 ║А 2 В 2 С 2 .

С 1

А 1

О

В 2

В 1

А 2

С 2

Задача № 54.

• Дано: ΔАDС. М, N, Р - середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см 2 .

Доказать: а) МРN║ АDС. б) Найти: S MNP .

В

N

М

C

Р

А

D

Отвечаем на вопросы

• Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
• Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
• Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости  . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
• Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
• Боковые стороны трапеции параллельны плоскости  . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости  ?
• Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
• Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
• Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
• Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
• Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости  , то и третья сторона параллельна плоскости  ?

Проверяем свою работу

• Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
• Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
• Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости  . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
• Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
• Боковые стороны трапеции параллельны плоскости  . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости  ? Да
• Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
• Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
• Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
• Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
• Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости  , то и третья сторона параллельна плоскости  ? Да

Домашнее задание

• П. 10, № 55, 56, 57.
• Пояснения к домашнему заданию:

В № 55 запишите в тетрадь и разберите решение задачи, приведенное в учебнике.

• Дополнительная задача:

Прямая а параллельна плоскости  . Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости  . Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.