"Параллельность прямых и плоскостей"

1. Точка М не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВСМ.

2. Точка О не лежит между параллельными плоскостями  и β. Через точку О проведены прямые k и p.

Прямая k пересекает плоскость a в точке A₁, плоскость β в точке В₁. Прямая p пересекает плоскость a в точке A₂, плоскость β в точке B₂. ОA₁ : A₁ В₁ = 4 : 5,

A₁A₂ = 12 см. Найти В₁В_2.

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1. постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра АВ, параллельно плоскости АСС₁

4. Боковые стороны трапеции параллельны плоскостиa. Параллельны ли плоскость a и плоскость трапеции?

5. В тетраэдре DABC точки М, N и K – середины рёбер АВ, ВD и ВС.

1) Докажите, что плоскость МNK параллельна плоскости АСD

2) Найдите площадь треугольника МNK, если площадь треугольника АСD равна 36 см².

6. Прямая а пересекает плоскость a. Лежит ли в плоскости a хоть одна прямая, параллельная прямой а?

7. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

1) Докажите, что прямые A₁C₁ и DD₁ скрещиваются.

2) Постройте угол между ними

3) Постройте плоскость, проходящую через прямую A₁С₁ параллельно прямой DD₁

8. Точка О лежит между параллельными плоскостями  и β. Через точку О проведены прямые m и n.

Прямая m пересекает плоскость a в точке A₁, плоскость β в точке A₂. Прямая n пересекает плоскость a в точке В₁, плоскость β в точке B₂. ОA₁ : A₁ A₂ = 1 : 3, A₁В_{1 =} 12 см. Найти А₂В_2.

Дополнительно

9. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

1) Докажите, что прямые A₁С₁ и BD₁ скрещиваются.

2)* Постройте угол между ними

3)* Постройте плоскость, проходящую через прямую A₁С₁ параллельно прямой BD₁