Пересечение тел вращения

9.4.1.Пересечение проецирующих тел вращения 

   Рассмотрим пересечение двух цилиндров (рис. 9.7), ось вращения одного из которых перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а другого - профильной. 

   Поверхности цилиндров относятся к поверхностям второго порядка. Следовательно, линия их пересечения будет пространственной кривой четвертого порядка. 

 Рис. 9.7.

   Вертикальный цилиндр проецируется на виде сверху в окружность. Так как линия пересечения принадлежит одновременно двум цилиндрам, то дуга F₁'D₁'B₁'A₁B₁D₁F₁ является горизонтальной проекцией линии пересечения. Горизонтальный цилиндр проецируется в окружность на виде слева. Следовательно, дуга А₃В₃D₃F₃F₃С₃А₃' является профильной проекцией линии пересечения. 

   На рис. 9.7 построены проекции характерных точек, которые находятся на пересечении линий связи, проведенных от вида сверху и от вида слева. Для более точного проведения фронтальной проекции линии пересечения следует построить также проекции промежуточных точек. 



9.4.2.Пересечение проецирующего тела вращения с непроецирующим

   При построении линии перехода проецирующего и непроецирующего геометрических тел следует иметь в виду, что одна из проекций линии пересечения известна. Она будет совпадать с одной из проекций проецирующего тела. 

   На рис. 9.8 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости П₁, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода непроецирующей поверхности тора. 

 Рис. 9.8.

   Проекции промежуточной точки 1 на видах спереди и слева (1г и 1з) определяются при помощи параллели торовой поверхности, проходящей через точку 1. Проекцией параллели на виде сверху является отрезок прямой Т₁Т₁'. На виде слева параллель проецируется в окружность радиуса О₃Т₃. Профильная проекция точки 1 строится на проекции параллели с помощью координаты Y₁, которая определяется на виде сверху. В свою очередь, фронтальная проекция точки 1 находится на пересечении горизонтальной и вертикальной линий связи. 

   Необходимо отметить, что вместе с построением проекций точки 1 на видах определяются проекции еще трех симметричных ей точек 1', 1" и 1'''. 

   Проекции характерных точек А, А', В, В' можно получить аналогичными построениями. Но точки А и А' находятся на пересечении главных фронтальных меридианов. Следовательно, известны и фронтальные проекции точек А и А'. Точки В и В' находятся на пересечении главных профильных меридианов. Следовательно, известны профильные проекции точек В и В'. Недостающие проекции этих точек находим по линиям связи. 



9.4.3.Пересечение непроецирующих тел вращения с параллельными осями 

   На рис. 9.9 приведен пример построения проекций линий пересечения между сферической и конической поверхностями. Представленная геометрическая модель является прототипом широко распространенных форм в химическом машиностроении, где от сферических поверхностей крышек отводятся патрубки, к которым крепятся подводящие или отводящие рабочую среду трубопроводы. 

 Рис. 9.9.

   Анализ показывает, что на чертеже нет ни одной проекции линии пересечения. В этом случае для построения проекций линий перехода вводятся дополнительные поверхности-посредники. В основе указанного способа находится известное положение геометрии о том, что если у расположенных на поверхности линий имеются общие точки, то в этих точках линии пересекаются. 

   В качестве посредников необходимо выбирать такие секущие поверхности, которые будут пересекать заданные геометрические тела по графически простым линиям - прямым или окружностям. 

   Если оси поверхностей вращения параллельны, то в качестве посредников удобнее применять плоскости, так как, расположив плоскость перпендикулярно осям геометрических тел, получим в пересечении плоскости с поверхностями две окружности. Возможно и другое расположение секущей плоскости, дающей при пересечении с заданными поверхностями графически простые линии. 

   Построение характерных точек, ( рис. 9.9 -а). Для построения проекций крайних правых и левых точек линии перехода (А и В) через главный фронтальный меридиан конической поверхности проводится вспомогательная секущая плоскость уровня - фронтальная плоскостьS ( S ₁). 

   Плоскость-посредник S пересекает поверхность сферы по окружности радиуса ОТ, а поверхность конуса - по главному фронтальному меридиану. Точки А и В пересечения полученных окружности и трапеции принадлежат и поверхности конуса и поверхности сферы. Следовательно, они принадлежат линии пересечения указанных поверхностей. Фиксируем фронтальные проекции точек А и В. Их горизонтальные проекции строим по линиям связи. 

   Две другие характерные точки высшая С и низшая D определяются при помощи введения горизонтально проецирующей плоскости-посредника Г (Г₁). Эта плоскость проходит через центр сферы и ось конической поверхности, т.е. является общей плоскостью симметрии сферы и конуса. 

   Плоскость Г пересекает поверхность сферы по окружности, которая на фронтальную плоскость проецируется в эллипс, не являющийся графически простой линией. Поэтому плоскость Г вместе с полученными сечениями сферы и конуса поворачивают до положения параллельного плоскости П₂. Фронтальные проекции повернутых линий сечения пересекаются в точках C₂ и D₂, которые являются проекциями искомых точек после вращения. 

   Для нахождения их исходного положения на чертеже построены проекции образующих m (m₁, m₂) и n (n₁, n₂) до вращения. Обратное вращение точек С и D осуществляется проведением отрезков C₂-C₂ и D₂-D₂ - фронтальных проекций дуг вращения. Горизонтальные проекции точек С и D получаются в пересечении вертикальных линий связи с горизонтальным следом плоскости-посредника Г. 

   Построение промежуточных точек ( рис. 9.9 -б). Проекции промежуточных точек 1 и 2 получены при помощи фронтально проецирующей плоскости-посредника D ( D ₂). Эта плоскость рассекает коническую поверхность и сферу по окружностям - параллелям k и l. На виде сверху фиксируются точки пересечения проекций параллелей (1₁ и 2₁) - горизонтальные проекции искомых промежуточных точек. Фронтальные проекции этих точек находятся на пересечении вертикальных линий связи с фронтальным следом плоскости-посредника Г. 

   На последней стадии выполнения чертежа полученные проекции точек линии перехода соединяются в плавную замкнутую линию с помощью лекала. 



9.4.4.Пересечение соосных поверхностей вращения 

   Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. 
   Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям. 

 Рис. 9.10.

   На рис. 9.10 приведены примеры пересечения сферы с конической, цилиндрической и торовой поверхностями. Рассматриваемые поверхности соосны с поверхностью сферы, так как центр сферы лежит на их осях вращения. Следовательно, поверхности со сферой пересекаются по окружностям. 

   Необходимо отметить, если оси пересекающихся соосных поверхностей параллельны плоскости проекций, то окружности пересечения (а) проецируются на эту плоскость в отрезки прямых 1₂2₂. Эти отрезки равны диаметру окружности пересечения, а их конечные точки (1₂) определяются пересечением очерковых линий на этом виде. 



9.4.5.Пересечение непроецирующих тел вращения с пересекающимися осями 

   При пересечении непроецирующих тел вращения с пересекающимися осями ни один из перечисленных выше методов построения проекций линий перехода не применим. В этом случае рациональнее использовать вспомогательные секущие сферы-посредники. Следует отметить, что метод сфер-посредников применим не только для построения линии пересечения непроецирующих тел, но и для проецирующих. При этом необходимо выполнение трех условий: 

       - пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; 
       - оси поверхностей должны пересекаться; 
       - плоскость, образованная осями поверхностей, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций. 



 Рис. 9.11.

   Обратимся теперь к модели, показанной на рис. 9.9. Пересекающиеся цилиндры А и Б рассекаются сферой по окружностям, как соосные поверхности вращения. Точки пересечения окружностей (точки С) принадлежат и цилиндру А, и цилиндру Б. Следовательно, они принадлежат линии перехода. 

   Пусть требуется построить фронтальную проекцию линии пересечения между поверхностями цилиндра и конуса (рис.9.12). При этом оси поверхностей пересекаются в точке О и параллельны фронтальной плоскости проекций. 

   Проведем сферу с центром О так, чтобы она пересекала и цилиндр, и конус. Проведенная сфера будет пересекать поверхность цилиндра по окружности а, которая спроецируется в отрезок прямой, соединяющий точки пересечения очерковых линий сферы и цилиндра. Сфера будет пересекать поверхность конуса по двум окружностям b и с, которые спроецируются в отрезки прямых, соединяющих точки пересечения очерковых линий сферы и конуса. Окружность а пересечет окружность b в точке 1, окружность с - в точке 2, которые принадлежат линии пересечения цилиндра и конуса. 

 Рис. 9.12.

   Для построения проекций точек линии перехода годится не любая сфера. Самая минимальная сфера должна касаться одной из поверхностей и пересекать вторую. С помощью такой сферы построена проекция характерной точки А. 

   Так как оси цилиндра и конуса параллельны фронтальной плоскости проекций, то точки пересечения проекций главных фронтальных меридианов (В₂ и С₂) также принадлежат проекции линии пересечения. 



9.4.6. Пересечение непроецирующих тел вращения со скрещивающимися осями 

   При построении линий перехода встречаются случаи, когда из одного заранее определенного центра можно провести только одну вспомогательную сферу, определяющую точку линии перехода. Для построения последующих точек такой линии приходится искать и новые положения центров, и другие величины радиусов сфер. 

   Построим линию пересечения поверхностей тора-кольца и конуса вращения (рис. 9.13). Оси тора и конуса не пересекаются. Однако эти поверхности имеют общую плоскость симметрии - фронтальную плоскость уровня Q ( Q ₁). Кроме того, у обеих поверхностей можно выделить семейство круговых сечений. 

   Характерные точки А и В находятся без дополнительных построений, как точки пересечения очерковых линий, расположенных в плоскости симметрии. Остальные точки линии пересечения могут быть построены при помощи вспомогательных эксцентрических сфер. 

 Рис. 9.13.

   Способ эксцентрических сфер заключается в следующем. Через ось кольца i проводят вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Г(Г₂), которая рассекает тор по окружности диаметра KL (на чертеже показана фронтальная проекция K₂L₂) с центром в точке 0(О₂), лежащей на средней линии тора. Из центра О₂ этой окружности проведем перпендикуляр (касательная к средней линии тора) к плоскости Г до пересечения с осью конуса в точке С (С₂). Если затем из этой точки, как из центра, провести вспомогательную секущую сферу, то такая сфера пересечет конус по окружности. Следовательно, сфера, проведенная из центра С с радиусом, равным СК (С₂K₂), пересечет тор и конус по окружностям, которые в своем пересечении определят точки искомой линии перехода. Такими точками в плоскости Г являются точки 1 (1₁, 1₂) и 2 (2₁, 2₂).