Перпендикулярность прямой и плоскости

Тест «Перпендикулярность прямой и плоскости»

1. Прямые a и m взаимно перпендикулярны, прямая b параллельна прямой a . Чему равен угол между прямыми m и b?

2. Прямая m перпендикулярна прямым a и b, лежащим в одной плоскости, и не перпендикулярна этой плоскости. Выясните взаимное расположение прямых a и b.

3. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?

4. Прямая a лежит в данной плоскости, прямая b перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между этими прямыми?

5. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание:

1. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линии их пересечения __________________.

2. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ____________________.

1. Прямые a и b лежат в одной плоскости. Могут ли они :

   1. быть перпендикулярными

   2. быть параллельными

   3. скрещиваться.
      Сделайте рисунок.

2. Прямые m и n пересекаются. Как расположена прямая m относительно прямой d , если d перпендикулярна n ? Сделайте рисунок.

3. Изобразите куб ABCDA₁ B₁C₁D₁ , M принадлежит АА₁. Через точку М проведите MN║DА и укажите взаимное расположение MN и DD₁

   1. Перпендикулярны

   2. Параллельны

   3. Пересекаются.

4. В кубе ABCDA₁ B₁C₁D₁ укажите все ребра, перпендикулярные AA₁

5. В кубе ABCDA₁ B₁C₁D₁ укажите все ребра, перпендикулярные плоскости AA₁ВВ₁

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90⁰.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Решение задач

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6 Задача №7

Задача №8

Задача №9

Задача №10

Дата 11 декабря 2018 года

План учебного занятия

Тема учебного занятия: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Цели:

Обучающая: сформировать представление о перпендикулярных прямой и плоскости, сформировать умение распознавать по очевидным признакам перпендикулярные прямую и плоскость.

Развивающая: развитие привычки к самостоятельной подготовке к занятиям, развитие познавательного интереса к изучаемой учебной дисциплине, логического и пространственного мышления, графической культуры и математической речи.

Воспитательная: создать атмосферу коллективного поиска, содействовать в ходе учебного занятия формированию математического мышления учащихся.

Тип учебного занятия: комбинированное.

Методы и приемы обучения: информационно-аналитический, репродуктивный, проблемный.

В результате изучения темы учащиеся должны:

Знать и правильно использовать определения: перпендикулярные прямые, перпендикулярные прямая и плоскость.

Знать:

• признаки: перпендикулярности прямой и плоскости;

• свойства: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости.

Уметь:

• раскрывать сущность геометрических понятий;

• иллюстрировать условие задачи;

• определять перпендикулярные прямую и плоскость в пространстве;

• применять теоретические сведения при решении задач, в том числе на доказательство.

Методическое и материально-техническое обеспечение учебного занятия: учебники, макеты многогранников, перечень вопросов для фронтального опроса, карточки с индивидуальными заданиями.

Междисциплинарные связи: с учебными дисциплинами «Черчение», «Инженерная графика».

Задания для фронтального опроса

1. Какие фигуры в стереометрии являются простейшими?

2. Какой многогранник является: кубом, параллелепипедом, призмой, пирамидой?

3. Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

4. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

5. Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.

6. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

7. Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются?

8. Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости?

9. Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой?

10. Одна из параллельных прямых пересекает плоскость . Как расположена вторая прямая относительно плоскости ?

11. Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них?

12. Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости?

13. Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?

14. Какие плоскости называются параллельными?

15. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

16. В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?

На повторение

1. Какие прямые называются перпендикулярными?

2. Какой угол образуют перпендикулярные прямые?

3. Какая фигура включает перпендикулярные прямые?

4. Сформулируйте теорему Пифагора.

5. Какими свойствами обладают катеты прямоугольного треугольника?

ВАРИАНТ 1

1. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. Укажите ребра, параллельные грани АА₁Д₁Д:

А) В₁С₁;

Б) В₁С;

В) СС₁;

Г) А₁В.

1. Основание пирамиды АВСДК – квадрат. Укажите грани, параллельные ребру АВ:

А) АВС;

Б) АКД;

В) СКД;

Г) ВКС.

ВАРИАНТ 2

1. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. Укажите грани, параллельные ребру ВС:

А) А₁В₁ВА;

Б) АА₁Д₁Д;

В) СС₁ Д₁Д;

Г) А₁В₁С₁Д₁.

1. Основание пирамиды MNPKQ – параллелограмм. Укажите наборы из параллельных ребра и грани:

А) MN и PKQ;

Б) MK и NMQ;

В) NP и NQM;

Г) PK и NMQ.

Фронтальный опрос на закрепление

1. Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?

2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости?

4. Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой?

5. Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости?

6. Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?

Изложение нового материала

Слово «перпендикуляр» происходит от латинских «пэндере» – висеть «пер» – сверх, верх, т.е. «перпендикуляр» переводится как «висящий сверху» или отвесный.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90⁰.

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Сегодня на занятии:

• проверим домашнее задание путем написания фронтального опроса, индивидуальной работы по карточкам;
• вспомним какие прямые называются перпендикулярными на плоскости;
• введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости;
• научимся распознавать по очевидным признакам перпендикулярные прямую и плоскость;
• научимся применять теоретические сведения при решении задач.

Фронтальный опрос

• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими? Какой многогранник называется кубом? Какой многогранник называется параллелепипедом? Какой многогранник называется призмой? Какой многогранник называется пирамидой?
• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими?
• Какой многогранник называется кубом?
• Какой многогранник называется параллелепипедом?
• Какой многогранник называется призмой?
• Какой многогранник называется пирамидой?

Фронтальный опрос

• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.
• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

• Какие прямые в пространстве называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
• Какие прямые в пространстве называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.
• Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются? Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости? Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой? Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?
• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются?
• Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости?
• Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой?
• Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них? Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости? Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?
• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них?
• Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости?
• Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?

Фронтальный опрос

• Какие плоскости называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности плоскостей. В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?
• Какие плоскости называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
• В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?

Задача №1

Постройте изображение прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

а) Назовите все ребра, параллельные ребру АА 1 .

б) Назовите грань, параллельную грани А 1 В 1 С 1 .

в) Назовите прямые, скрещивающиеся с прямой А 1 В 1 .

а) ВВ 1 ; СС 1 ;

б) АВС;

в) ВС; АС; СС 1 ;

Задача №2

Диагонали параллелепипеда АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 пересекаются в точке О, . Докажите, что ОТ параллельна С 1 С.

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Слово « перпендикуляр » происходит от латинских

« пэндере » – висеть

« пер » – сверх, верх,

т.е. « перпендикуляр » переводится как « висящий сверху » или отвесный.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

c

c /

c a, c a

a

b

a b, a b

12

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

a

13

Построение прямых углов на местности с помощью

простейшего прибора,

который называется экер

Треножник

с

экером

В

А

Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

1

О

14

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

14

Подвес люстры обычно перпендикулярен плоскости потолка и плоскости пола. Но бывают моменты, когда эта ситуация меняется.

14

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна

к этой плоскости.

свойства перпендикулярных прямой и плоскости

х

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

a

a 1

19

Обратная теорема.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

b

a

a

b

M

a II b

c

b 1

20

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Решение задач

№ 328

№ 329

№ 335

№ 336

№ 349

Фронтальный опрос

• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости? Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой? Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости? Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?
• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?
• Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
• Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости?
• Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой?
• Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости?
• Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание

[4], глава 3 §1

№ 332, 337, 342

Дополнительно:

Найти ответ на вопрос

«Где в практической деятельности человека используются аксиомы стереометрии?»

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Решение задач

№ 328

№ 329

№ 335

№ 336

№ 349

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Сегодня на занятии:

• проверим домашнее задание путем написания фронтального опроса, индивидуальной работы по карточкам;
• вспомним какие прямые называются перпендикулярными на плоскости;
• введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости;
• научимся распознавать по очевидным признакам перпендикулярные прямую и плоскость;
• научимся применять теоретические сведения при решении задач.

Фронтальный опрос

• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими? Какой многогранник называется кубом? Какой многогранник называется параллелепипедом? Какой многогранник называется призмой? Какой многогранник называется пирамидой?
• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими?
• Какой многогранник называется кубом?
• Какой многогранник называется параллелепипедом?
• Какой многогранник называется призмой?
• Какой многогранник называется пирамидой?

Фронтальный опрос

• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.
• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

• Какие прямые в пространстве называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
• Какие прямые в пространстве называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.
• Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются? Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости? Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой? Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?
• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются?
• Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости?
• Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой?
• Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них? Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости? Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?
• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них?
• Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости?
• Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?

Фронтальный опрос

• Какие плоскости называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности плоскостей. В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?
• Какие плоскости называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
• В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?

Задача №1

На рисунке построено изображение прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

а) Назовите все ребра, параллельные ребру АА 1 .

б) Назовите грань, параллельную грани А 1 В 1 С 1 .

в) Назовите прямые, скрещивающиеся с прямой А 1 В 1 .

Задача №2

Диагонали параллелепипеда АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 пересекаются в точке О, . Докажите, что ОТ параллельна С 1 С.

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Слово « перпендикуляр » происходит от латинских

« пэндере » – висеть

« пер » – сверх, верх,

т.е. « перпендикуляр » переводится как « висящий сверху » или отвесный.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

c

c /

c a, c a

a

b

a b, a b

12

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

a

13

Построение прямых углов на местности с помощью

простейшего прибора,

который называется экер

Треножник

с

экером

В

А

Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

1

О

14

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

14

Подвес люстры обычно перпендикулярен плоскости потолка и плоскости пола. Но бывают моменты, когда эта ситуация меняется.

14

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна

к этой плоскости.

свойства перпендикулярных прямой и плоскости

х

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

a

a 1

19

Обратная теорема.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

b

a

a

b

M

a II b

c

b 1

20

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Решение задач

Фронтальный опрос

• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости? Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой? Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости? Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?
• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?
• Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
• Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости?
• Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой?
• Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости?
• Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание

[4], глава 3 §1

№ 332, 337, 342

Дополнительно:

Найти ответ на вопрос

«Где в практической деятельности человека используются аксиомы стереометрии?»