Перпендикулярность прямой и плоскости

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «Перпендикулярность прямой и плоскости»

10 класс

Математический диктант

АВ = 3 см, AD = 4 см, МА = 1 см.

Пользуясь рисунком, найдите:

1) расстояние между точками М и В;

2) длину отрезка MD; 

3) расстояние между точками А и С;

4) длину отрезка BD;

5) расстояние между точками М и С;

6) площадь треугольника МАСС.

Решение задач

• 1. Три луча ОА, ОВ и ОС попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей относительно плоскости, определяемой двумя другими лучами?
• 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной a проведена прямая ОК, перпендикулярную к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = b.
• 3 . В треугольнике ABC  C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, CM - медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК =12 см. Найдите KM.

Решение задач

• 4. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16 см, ОК = 12см, CD = 16см. Найдите расстояние от точек D и к до вершин А и В треугольника.
• 5. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей одной из граней к вершинам противоположной ей грани.
• 6. Диагональ BD1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна d, диагональ AD1 грани равна b. Найдите АВ.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости

• Теорема 1.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.

• Теорема 2.

Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то данные прямые параллельны.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости

• Теорема 3.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и ко второй.

• Теорема 4.

Если две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, то они параллельны.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

• 1. Дано прямую а и точку А вне ее. Проведите через точку А плоскость, перпендикулярную к прямой а .
• 2. Даны прямая а и точка А на ней. Проведите плоскость, которая проходит через точку А и перпендикулярна к прямой а .
• 3. Сколько плоскостей, перпендикулярных к данной прямой, можно провести через данную точку? Докажите это.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

• 4. Дана плоскость  и точка А вне ее. Проведите через точку А прямую, которая была бы перпендикулярна к плоскости  .
• 5. Дана плоскость  и точка А на ней. Проведите через точку А прямую, которая была бы перпендикулярна к плоскости  .
• 6. Сколько прямых, перпендикулярных к данной плоскости, можно провести через данную точку пространства? Докажите свое мнение.

Какие из приведенных ниже утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) прямая SO перпендикулярна к прямой BD;

б) прямая SO не перпендикулярна

к прямой АС;

в) прямая SO не перпендикулярна

к плоскости АВС;

г) прямая АС обязательно

перпендикулярна к плоскости BDS;

д) если АВ = 6 см; BC = 8 см и AS = 13 см, то SO = 12 cm.

• Даны плоскость α , перпендикулярная к ней прямая а и другая прямая  b , не лежащая в плоскости α.

Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

• а) если b || a, то b α;
• б) если b α , то b || а ;
• в) если b α, то а и b скрещивающиеся;
• г) если b α, то а и b пересекаются.

• Даны плоскость  α , параллельная ей прямая а и некоторая прямая b , не лежащая в плоскости α.

Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

• а) если b || a, то обязательно b || α;
• б) если b α, то обязательно b а;
• в) если b α и b пересекает а, то b а;
• г) если b α, то b и а обязательно скрещивающиеся.

Перпендикуляр и наклонная. Взаимосвязь между длинами наклонных, проведенных из одной точки, и длины их проекций

Решение задач

• 1. Найти длину наклонной, если длина перпендикуляра равна 4 см, а проекция наклонной на плоскость - 3 см.
• 2. Найти проекцию наклонной на плоскость, если наклонная равна 13 см, а перпендикуляр, проведенный из той же точки,- 12 см.
• 3. Найти длину перпендикуляра, если наклонная равна 10 см, а ее проекция на плоскость - 8 см.

Решение задач

• 4. Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки к данной плоскости? Почему?
• 5. Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной плоскости?
• 6. Как следует установить на крестовине елку, чтобы она была перпендикулярна к плоскости пола?
• 7. Как на практике с помощью отвеса проверить вертикальность установленного столба?

Решение задач

• 1. Найти расстояние от точки А до граней куба, если ребро куба равно 10 см

Решение задач

•   2. Из точки S проведен к плоскости а перпендикуляр SO и наклонные SA и SB.  Длины наклонных соответственно равны 13 и 20 см. Длина проекции наклонной AS равна 5 см. Найти расстояние от точки S до плоскости и длину проекции наклонной SB.

Решение задач

• Задача.

Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные и перпендикуляр. Докажите, что если:

• 1) наклонные равны, то равны и их проекции;
• 2) проекции наклонных равны, то равны и наклонные.
• 3) наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника

• Теорема 1.

Если через центр окружности, описанной вокруг многоугольника, проведено прямую, перпендикулярную к плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника

• Теорема 2.

Если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг многоугольника.

Решение задач

• 1. ABC = 90°; МА = MB = МС. Опустите из точки М перпендикуляр на плоскость АВС .

Решение задач

• 2. ABCD - квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

Решение задач

• 3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

Решение задач

• 1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковые стороны по 10 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой из вершин на 26 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
• 2. В треугольнике АВС ∟А = 45°, ВС = 12 см. Точка S находится от его плоскости на расстоянии 6 см и на одинаковом расстоянии от каждой вершины треугольника. Найдите расстояние от точки S до вершин треугольника.
• 3. Трапеция вписана в окружность, причем меньшая основа, которая равна 16 см, стягивает дугу в 60°. На расстоянии 12 см от плоскости трапеции находится точка, равноудаленная от каждой ее вершины. Найдите расстояние от этой точки до вершины трапеции.

Решение задач

• 1. Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и D соответственно. Найдите АС, если АВ = 9 см, CD = 15 см, BD = 8 см и отрезок АС не пересекает данной плоскости.
• 2. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BS, перпендикулярную его плоскости. Какие из приведенных утверждений верны?
• а) Прямая SD перпендикулярна к плоскости АВС;
• б) прямая AD перпендикулярна к плоскости ASB;
• в) прямая CD перпендикулярна к плоскости BSC;
• г) прямая BD перпендикулярна к плоскости SBC.

Решение задач

• 1. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр МО. Найдите МО, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, МА = 13 см.
• 2. Дан параллелограмм ABCD и плоскость α, которая его не пересекает. Через вершины параллелограмма проведены прямые, перпендикулярные плоскости и пересекающие плоскость соответственно в точках А1, В1, С1, D1. Найдите длину отрезка DD1, если АА1 = 3 см, ВВ1 = 4 см, СС1 =5 см.
• 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найти площадь треугольника BCD, если АВ = см, АС =  см, AD = см.

Решение задач

• 3. Построено сечение куба ABCDA1В1C1D1 плоскостью, проходящей через точки В1 и D1 и середину ребра CD. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.

• 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 построено сечение плоскостью, проходящей через точки А, С, К, где К - середина ребра C1D1.Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.