Перпендикулярность прямой и плоскости

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Сегодня на занятии:

• проверим домашнее задание путем написания фронтального опроса, индивидуальной работы по карточкам;
• вспомним какие прямые называются перпендикулярными на плоскости;
• введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости;
• научимся распознавать по очевидным признакам перпендикулярные прямую и плоскость;
• научимся применять теоретические сведения при решении задач.

Фронтальный опрос

• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими? Какой многогранник называется кубом? Какой многогранник называется параллелепипедом? Какой многогранник называется призмой? Какой многогранник называется пирамидой?
• Какие фигуры в стереометрии являются простейшими?
• Какой многогранник называется кубом?
• Какой многогранник называется параллелепипедом?
• Какой многогранник называется призмой?
• Какой многогранник называется пирамидой?

Фронтальный опрос

• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.
• Назовите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

• Какие прямые в пространстве называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
• Какие прямые в пространстве называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве.
• Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются? Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости? Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой? Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?
• Верно ли утверждение, что прямые в пространстве параллельны, если они не пересекаются?
• Верно ли утверждение, что параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости?
• Верно ли, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой?
• Одна из параллельных прямых пересекает плоскость  . Как расположена вторая прямая относительно плоскости  ?

Фронтальный опрос

• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них? Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости? Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?
• Верно ли утверждение, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую из них?
• Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в плоскости?
• Верно ли утверждение, что две прямые, каждая из которых параллельна некоторой плоскости, параллельны между собой?

Фронтальный опрос

• Какие плоскости называются параллельными? Сформулируйте признак параллельности плоскостей. В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?
• Какие плоскости называются параллельными?
• Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
• В каких плоскостях лежат противоположные грани параллелепипеда?

Задача №1

Постройте изображение прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

а) Назовите все ребра, параллельные ребру АА 1 .

б) Назовите грань, параллельную грани А 1 В 1 С 1 .

в) Назовите прямые, скрещивающиеся с прямой А 1 В 1 .

а) ВВ 1 ; СС 1 ;

б) АВС;

в) ВС; АС; СС 1 ;

Задача №2

Диагонали параллелепипеда АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 пересекаются в точке О, . Докажите, что ОТ параллельна С 1 С.

11.12.2018г.

Тема учебного занятия:

Перпендикулярность

прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Слово « перпендикуляр » происходит от латинских

« пэндере » – висеть

« пер » – сверх, верх,

т.е. « перпендикуляр » переводится как « висящий сверху » или отвесный.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

c

c /

c a, c a

a

b

a b, a b

12

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

a

a

13

Построение прямых углов на местности с помощью

простейшего прибора,

который называется экер

Треножник

с

экером

В

А

Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.

1

О

14

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

14

Подвес люстры обычно перпендикулярен плоскости потолка и плоскости пола. Но бывают моменты, когда эта ситуация меняется.

14

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна

к этой плоскости.

свойства перпендикулярных прямой и плоскости

х

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

a

a 1

19

Обратная теорема.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

b

a

a

b

M

a II b

c

b 1

20

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Решение задач

№ 328

№ 329

№ 335

№ 336

№ 349

Фронтальный опрос

• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости? Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой? Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости? Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?
• Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?
• Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
• Как расположены между собой две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости?
• Каким свойством обладает плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой?
• Каким свойством обладает прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости?
• Каким свойством обладают диагонали прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание

[4], глава 3 §1

№ 332, 337, 342

Дополнительно:

Найти ответ на вопрос

«Где в практической деятельности человека используются аксиомы стереометрии?»