Россия, Грайворон
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 15.05.2025 07:55
Ерошенко Юлия Викторовна
учитель математики
58 лет
2 407
25 197 
Местоположение
Специализация
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Категория:
Математика
02.01.2021 21:45
Просмотр содержимого документа
«Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 о
с
а
b
α
а b
c b
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано: а || b, a c
a
b
Доказать: b c
M
A
c
α
C
Доказательство:
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
а
α
а α
Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a
Дано: а || а 1 ; a α
а 1
Доказать: а 1 α
α
х
Доказательство:
Теорема 2
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
β
M
с
Дано: а α ; b α
α
Доказать: а || b
b
a
b 1
Доказательство:
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
Дано: а p ; a q
p α ; q α
p ∩ q = O
α
m
q
O
Доказать: а α
p
Доказательство:
a
Доказательство:
A
а) частный случай
P
l
Q
q
L
O
p
α
m
B
Доказательство:
а) общий случай
a 1
a
α
m
q
O
p
Теорема 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Дано: α ; М α
β
М
b
Доказать:
1) ∃ с, с α , М с;
2) с – !
а
α
с
Доказательство:
Дано: ABC ;
MB BC; MB BA;
MB = BD = a
Задача
M
Доказать: М B BD
Найти: MD
a
Решение:
В
a
C
D
А
Задача 128
Дано: ABCD - параллелограмм ;
AC ∩ BD = O ; М (ABC);
МА = МС , MB = MD
М
Доказать: O М (ABC)
Доказательство:
D
C
O
В
А
Дано: ABC – р/с ;
О – центр ABC
CD (ABC); ОК || CD
А B = 16 3 , OK = 12; CD = 16
Задача 12 2
D
К
Найти: AD; BD; AK; BK.
16
Решение:
12
В
O
C
А
Перпендикуляр и наклонные
М α
МА и МВ – наклонные
М
МН α
АН и ВН – проекции
наклонных
Н α
А α
МН – перпендикуляр
В α
α
В
Н
А
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
Дано: а α , АН α ,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
А
β
Доказать: а АМ
Н
М
а
α
Доказательство:
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Дано: а α , АН α ,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
β
А
Доказать: а НМ
Н
М
а
α
Доказательство:
Угол между прямой и плоскостью
(а ; α ) = АОН = φ
β
А
φ
О
Н
α
а
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
