СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Взаимное расположение прямых и плоскостей 

Просмотр содержимого документа
«Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о с а b α а  b c   b

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90 о

с

а

b

α

а b

c b

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Дано:   а  ||  b, a  c a b Доказать: b  c M A c α C Доказательство:

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а || b, ac

a

b

Доказать: bc

M

A

c

α

C

Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости а α а   α

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а

α

аα

Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a Дано:   а  ||  а 1 ; a   α а 1 Доказать:  а 1    α  α х Доказательство:

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: а || а 1 ; aα

а 1

Доказать: а 1α

α

х

Доказательство:

Теорема 2 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. β M с Дано:   а    α ; b    α α Доказать:  а  || b  b a  b 1 Доказательство:

Теорема 2

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

β

M

с

Дано: аα ; bα

α

Доказать: а || b

b

a

b 1

Доказательство:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. a Дано:   а   p ; a   q  p   α ; q   α  p ∩ q = O α m q O Доказать:  а    α  p Доказательство:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: аp ; aq

pα ; qα

p ∩ q = O

α

m

q

O

Доказать: аα

p

Доказательство:

a Доказательство: A а) частный случай P l Q q L O p α m B

a

Доказательство:

A

а) частный случай

P

l

Q

q

L

O

p

α

m

B

Доказательство: а) общий случай a 1 a α m q O p

Доказательство:

а) общий случай

a 1

a

α

m

q

O

p

Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. Дано:   α ;  М  α β М b Доказать:  1) ∃  с, с   α , М  с; 2) с – ! а α с Доказательство:

Теорема 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: α ; Мα

β

М

b

Доказать:

1) ∃ с, сα , Мс;

2) с – !

а

α

с

Доказательство:

Дано:    ABC ; MB   BC; MB   BA; MB = BD = a Задача M Доказать:  М B    BD Найти: MD a Решение: В a C D А

Дано:ABC ;

MBBC; MBBA;

MB = BD = a

Задача

M

Доказать: М BBD

Найти: MD

a

Решение:

В

a

C

D

А

Задача 128 Дано:   ABCD - параллелограмм ;  AC ∩ BD = O ;  М  (ABC); МА = МС , MB  = MD М Доказать: O М   (ABC) Доказательство: D C O В А

Задача 128

Дано: ABCD - параллелограмм ;

AC ∩ BD = O ; М(ABC);

МА = МС , MB = MD

М

Доказать: O М(ABC)

Доказательство:

D

C

O

В

А

Дано:    ABC – р/с ; О – центр   ABC  CD   (ABC); ОК || CD А B = 16  3 , OK  = 12; CD = 16 Задача 12 2 D К Найти: AD; BD; AK; BK. 16 Решение: 12 В O C А

Дано:ABC – р/с ;

О центрABC

CD(ABC); ОК || CD

А B = 16 3 , OK = 12; CD = 16

Задача 12 2

D

К

Найти: AD; BD; AK; BK.

16

Решение:

12

В

O

C

А

Перпендикуляр и наклонные М   α МА и  МВ  – наклонные М МН   α АН и ВН – проекции наклонных Н   α А   α МН – перпендикуляр В   α α В Н А

Перпендикуляр и наклонные

Мα

МА и МВ наклонные

М

МНα

АН и ВН – проекции

наклонных

Нα

Аα

МН – перпендикуляр

Вα

α

В

Н

А

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. Дано:   а    α , АН   α ,  АМ – наклонная,  а    НМ, М  а А β Доказать:  а    АМ  Н М а α Доказательство:

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

Дано: аα , АНα ,

АМ наклонная,

аНМ, М  а

А

β

Доказать: аАМ

Н

М

а

α

Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Дано:   а    α , АН   α ,  АМ – наклонная,  а    АМ, М  а β А Доказать:  а    НМ  Н М а α Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Дано: аα , АНα ,

АМ наклонная,

аАМ, М  а

β

А

Доказать: аНМ

Н

М

а

α

Доказательство:

Угол между прямой и плоскостью (а ; α ) =  АОН = φ β А φ О Н α а

Угол между прямой и плоскостью

(а ; α ) =АОН = φ

β

А

φ

О

Н

α

а


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Поделитесь с друзьями
ВКонтактеОдноклассникиTwitterМой МирLiveJournalGoogle PlusЯндекс