Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90 о

с

а

b

α

а  b

c  b

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а || b, a  c

a

b

Доказать: b  c

M

A

c

α

C

Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а

α

а  α

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: а || а 1 ; a  α

а 1

Доказать: а 1  α

α

х

Доказательство:

Теорема 2

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

β

M

с

Дано: а  α ; b  α

α

Доказать: а || b

b

a

b 1

Доказательство:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: а  p ; a  q

p  α ; q  α

p ∩ q = O

α

m

q

O

Доказать: а  α

p

Доказательство:

a

Доказательство:

A

а) частный случай

P

l

Q

q

L

O

p

α

m

B

Доказательство:

а) общий случай

a 1

a

α

m

q

O

p

Теорема 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: α ; М  α

β

М

b

Доказать:

1) ∃ с, с  α , М  с;

2) с – !

а

α

с

Доказательство:

Дано:  ABC ;

MB  BC; MB  BA;

MB = BD = a

Задача

M

Доказать: М B  BD

Найти: MD

a

Решение:

В

a

C

D

А

Задача 128

Дано: ABCD - параллелограмм ;

AC ∩ BD = O ; М  (ABC);

МА = МС , MB = MD

М

Доказать: O М  (ABC)

Доказательство:

D

C

O

В

А

Дано:  ABC – р/с ;

О – центр  ABC

CD  (ABC); ОК || CD

А B = 16  3 , OK = 12; CD = 16

Задача 12 2

D

К

Найти: AD; BD; AK; BK.

16

Решение:

12

В

O

C

А

Перпендикуляр и наклонные

М  α

МА и МВ – наклонные

М

МН  α

АН и ВН – проекции

наклонных

Н  α

А  α

МН – перпендикуляр

В  α

α

В

Н

А

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

Дано: а  α , АН  α ,

АМ – наклонная,

а  НМ, М  а

А

β

Доказать: а  АМ

Н

М

а

α

Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Дано: а  α , АН  α ,

АМ – наклонная,

а  АМ, М  а

β

А

Доказать: а  НМ

Н

М

а

α

Доказательство:

Угол между прямой и плоскостью

(а ; α ) =  АОН = φ

β

А

φ

О

Н

α

а