Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90 о

с

а

b

L

а  b

c  b

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а

а  L

L

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а || b, a  c

a

b

Доказать: b  c

Доказательство:

M

A

c

L

C

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

a

Дано: а || а 1 ; a  L

а 1

Доказать: а 1  L

Доказательство:

L

х

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны .

Теорема 2

Дано: а  L ; b  L

Доказать: а || b

O

Доказательство:

с

L

b

a

b 1

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: m  p ; m  q

p  L; q  L

p ∩ q = O

m

L

n

Доказать: а  L

q

O

Доказательство:

p

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: L ; М  L

Доказать:

1) ∃ с, с  L , М  с;

2) с – !

β

М

b

Доказательство:

а

L

с

Перпендикуляр и наклонные

М  L

М

МА и МВ – наклонные

МН  L

АН и ВН – проекции

наклонных

Н  L

А  L

МН – перпендикуляр

В  L

L

В

Н

А

Задача

Дано:  NBK ;

OB  BK; OB  BN;

OB = BD = a

O

Доказать: OB  BD

Найти: OD

Решение:

a

В

a

K

D

N

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

Дано: а  L, АН  L ,

АМ – наклонная,

а  НМ, М  а

А

β

Доказать: а  АМ

Доказательство:

М

Н

а

L