Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Разработал преподаватель

Математики: Шишхова З.Р

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Теорема 3.1 Если две пересекающие

прямые параллельны соответственно

двум перпендикулярным прямым,

то они тоже перпендикулярны.

C

b

B

a

A

C 1

b 1

B 1

a 1

A 1

Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD , если АВ = 3 см, ВС = 7 см, А D = 1,5 см.

Дано: АВ АС, АВ А D, AD AC.

АВ = 3 см, ВС = 7 см, А D = 1,5 см.

С

Найти CD.

7 см

Решение: 1) АВС – прямоугольный,

по теореме Пифагора АС 2 = ВС 2 – АВ 2 = 49 – 9 = 40, АС = см.

?

В

2) АС D – также прямоугольный,

по теореме Пифагора С D 2 = AC 2 + AD 2 =

= 40 + 2 ,25 = 42,25. CD = c м = 6,5 см.

А

3 см

1,5 см

Ответ: CD = 6,5 см.

D

16 см

5 см

9 см

Задача № 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD , если В D = 9 см, ВС = 16 см, А D = 5 см.

Дано: АВ АС, АВ А D, AD AC.

BD = 9 см, ВС = 16 см, А D = 5 см.

С

Найти CD.

Решение: 1) АВ D – прямоугольный,

по теореме Пифагора А B 2 = В D 2 – А D 2 = 81 – 25 = 56 , АС = см.

?

2) АС B – также прямоугольный,

В

по теореме Пифагора AC 2 = BC 2 - AB 2 =

= 256 - 56 = 200 . AC = c м.

А

3) ACD – прямоугольный, CD 2 = AC 2 +AD 2 = = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.

Ответ: CD = 15 см.

D

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

A 1

Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

a

B

A

b

c

X

x

C

A 2

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

a 1

a 2

A 2

x 2

A 1

x 1

Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

• С

а

b

b 1

В

В 1

Перпендикуляр и наклонная.

А

АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости.

В – основание перпендикуляра.

АС – наклонная, С- основание наклонной.

ВС – проекция наклонной

С

В

20 см

15 см

7 см

12 см

9 см

А

Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7 см. Найдите проекции наклонных.

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см.

О

Найти: ВО и СО.

С

В

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .

Решение:

p = (a+b+c)/2 = ( 20 +1 5 + 7 )/2 = 21 см.

= 7 · 6 = 42 см 2 .

, АО = 2 · 42/7 = 84/7 = 12 см.

2)

• А O С – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 225 – 144 = 81,

ОС = 9 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см.

Ответ: 9 см и 16 см.

2 х

1 х

7 см

1 см

А

Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см.

Найти: АВ и АС.

О

С

В

Решение:

Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = 4х 2 – 49,

В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 1.

Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: 4х 2 – 49 = х 2 – 1, 3х 2 = 48, х 2 = 16, х = 4.

Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

Ответ: 4 см и 8 см.

17 см

10 см

9 см

8 см

6 см

А

Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см.

О

Найти: ВО и СО.

С

В

Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .

p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см.

= 9 · 4 = 36 см 2 .

2)

, АО = 2 · 36/9 = 72/9 = 8 см.

• АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 100 – 64 = 36,

ОС = 6 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см.

Ответ: 6 см и 15 см.

(х + 26 )см

х см

40 см

12см

А

Задача 24 1 ) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см.

Найти: АВ и АС.

О

С

В

Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = (х+26) 2 – 40 2 ,

Решение:

В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 12 2 .

Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: (х+26) 2 – 40 2 = х 2 – 12 2 , х 2 +52х+676 – 1600 = х 2 -144, 52х = 780, х = 15 см.

Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.

Ответ: 15 см и 41 см.

Теорема о трёх перпендикулярах.

Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Обратная теорема

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

А

А 1

В

С

с

6 см

6 см

13 см

D

Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.

А

Дано : АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, А D (АВС), А D= 13 см.

Найдите: ( D; BC).

С

6 см

F

В

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС.

По теореме о трёх перпендикулярах AF BC,

т.к. треугольник АВС- равносторонний, то А F –медиана, т.е. BF=FC= 3 см.

А FC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF 2 = AC 2 – CF 2 = 36 – 9 = 27, AF = см.

ADF – прямоугольный, DF 2 = AD 2 + AF 2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см.

Ответ: 14 см.

D

Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны.

9 см

А

15 см

В

F

12 см

26 см

37 см

С

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр В F на прямую ВС.

BF найдём из треугольника АВС.

По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.

p = (a+b+c) /2 = (15+2 6 + 3 7) /2 = 39 ,

Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.

= 13 · 3 · 4 = 156 (см 2 ).

S =

S= AC · BF,

BF = 2 · S/AC= 2 · 156 / 26 = 12 см.

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2 ,

DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.

Задание на дом: П. 19,

Задача . Из вершины треугольника АВС

восставлен перпендикуляр В D к

плоскости треугольника. Найдите

расстояние от точки D до стороны АС,

если В D = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

D

15 см

Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр В D к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если В D = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

9 см

А

15 см

В

F

12 см

7 см

20 см

С

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС.

По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.

BF найдём из треугольника АВС.

Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c) /2 = (15+20+7) /2 = 21,

=

=

=

7 · 6 = 42 (см 2 ).

S =

S= AC · BF,

BF = 2 · S/AC= 2 · 42 / 7 = 12 см.

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2 ,

DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 15 см.

Перпендикулярность плоскостей.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.

a

с

b

Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

b

c

a

•

А

Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, В D = 7 м, С D = 6 м.

?

6 м

D

90 0

6 м

С

90 0

Дано: , А  , В  , АС CD, BD CD

АС = 6 м, В D = 7 м, С D = 6 м.

Найти: АВ.

7 м

•

В

Решение: BCD – прямоугольный,

по теореме Пифагора ВС 2 = С D 2 + BD 2 ,

ВС 2 = 36 +49 = 85, ВС = м.

АВС – прямоугольный,

по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 ,

АВ 2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м.

Ответ : 11 м.

•

А

Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, В D = 5 м, С D = 7 м.

?

м

90 0

D

7 м

90 0

С

Дано: , А  , В  , АС CD, BD CD

АС = м, В D = 5 м, С D = 7 м.

Найти: АВ.

5 м

•

В

9 см

10 см

8 см

15 см

17 см

D

Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону.

Решение:

В

17 см

1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС.

А

С

2) Найдём площадь АВС по формуле Герона:

F

p=(a + b + c) : 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см),

= 9 · 4 = 36 см 2 .

3)

, В F = (2 · S) : АС = (2 · 36) : 9 = 8 (см).

DBF – прямоугольный, поэтому

DF AC по теореме о трёх перпендикулярах.

4)

DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289,

DF = 17 см.

Ответ: 8 см и 17 см.

Задание на дом : П 20,

задачи № № 25, 59 3),

33 см

23 см

3х

2х

К задаче № 25

А

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

?

О

С

В

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.