Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Инструкционная карта № 25

Тақырыбы/ Тема: Решение задач по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Мақсаты/ Цель:

1. Уметь применять определения, признаки и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей в пространстве при решении задач.

2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности при решении задач.

3. Воспитание личностных качеств посредством развития индивидуальных познавательных интересов и способностей.

Теоретический материал:

1. Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

1. Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

1. Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость перпендикулярная прямой пересечении этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема: (признак перпендикулярности прямых в пространстве) Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Теорема: ( признак перпендикулярности прямой к плоскости в пространстве) Если

прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна данной плоскости.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

1Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она

перпендикулярна к другой.

2 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема: (признак перпендикулярности плоскостей в пространстве) Если плоскость

проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости

перпендикулярны.

Задача: Прямые АВ,АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если 1) АВ=3см., ВС=7см.,AD=1,5см. 2) BD=c., BC=a., AD=d.

1) Рассмотрим

Рассмотрим

2)

Задача: Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстоянии 3,4м соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8м., а другого 3,9м. найдите длину перекладины.

А

АС= АА₁ –СА₁ =5,8-3,9=1,9

В

С

3,9

5,8

3,4

В

А

Задача: Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=ВС=5м, СD=1м.

α

D

A

5

β

Дано: αβ AC CD

A

ВDCD

B

Аα, Bβ

5

C

AD=BC=5м

CD=1м

Найти: АВ

Решение:

1) рассм. ACD, =90^◦

AC=

2)рассм. ACD,

AB=

Задача: Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точки А и В до плоскости равны 7,4 см и 6,1 см.

Дано:AB¢α C AB, AC=CB,

AA׀=6,1см, BB׀=7,4см.

Найти:CC׀=?

Решение:

Рассмотрим AA׀BB׀-трапеция, т.к. AA׀┴α, BB׀┴α, то AA׀║BB׀

CC׀- средняя линия трапеции

CC׀=(см)

Задача: Точка А находится на расстоянии от вершины равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Дано: ∆ АВС

АВ=ВС=АС=а; SA=SB=SC=a

Найти: SO-?

Решение:

ОВ=R= Рассмотрим ∆ SOB ˂О=90⁰ SO=

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Верно ли утверждение. Что «перпендикулярные прямые лежат в одной плоскости»?

3. В каких условиях прямая перпендикулярна к плоскости?

4. В окружающей обстановке найдите примеры на свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Какие плоскости называются перпендикулярными?