Перпендикулярность прямых в пространстве

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов

c

m

k

k

m

c

k

скрещивающиеся

пересекающиеся

Найди решение на рисунке

Найти на модели прямоугольного параллелепипеда 2 перпендикулярные прямые, лежащие в одной плоскости и в разных плоскостях.

Как называются прямые, лежащие в разных плоскостях?

Теорема 1.

Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны .

Дано : а  b , a 1  b 1 , a  a 1 , b  b 1 , a , b   , a 1 b 1   1

Доказать: a 1  b 1 .

Доказательство

• Так как а  а 1 , b  b 1    1

2. a  b в т. С, a 1  b 1 в т. С 1

3. В плоскости параллельных прямых а и а 1 проведём АА 1  СС 1 , А  , А 1   1 .

4. В плоскости параллельных прямых b и b 1 проведём BB 1  СС 1 , B  , B 1   1 .

5. АСС 1 А 1 – параллелограмм (т. к. АС  А 1 С 1 – по условию, АА 1  СС 1 – по построению)

6. СВВ 1 С 1 – параллелограмм (т. к. СВ  С 1 В 1 – по условию, СС 1  ВВ 1 – по построению).

7. АВВ 1 А 1 – параллелограмм (АА 1  ВВ 1 , АВ  А 1 В 1 ,   1  АВ  А 1 В 1 т. к. АА 1  СС 1 , ВВ 1  СС 1 ).

8. По свойству параллелограмма: АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1  АВС =  А 1 В 1 С 1 (по III признаку)  АСВ =  А 1 С 1 В 1 = 90   а 1  b 1

Теорема 2.

Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Доказательство:

Возьмем в пространстве любую точку Х вне прямой и проведем через прямую b и точку Х плоскость  . В плоскости проведем прямую a через точку A на данной прямой , перпендикулярную ей с помощью чертежных инструментов.

Теорема 3.

Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.

Теорема 4.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой.

Закрепим!

1. Сколько перпендикулярных прямых можно провести к прямой в пространстве через данную точку на ней?

2. Сколько прямых, перпендикулярных данной, которые проходят через точку вне данной прямой?

МНОГО

ОДНА