Первообразная и интегралы: неопределенный и определенный.

Определенный интеграл

• Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.

по определению , его называют

определенным интегралом от функции

y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

• Для непрерывной функции

где F(x) – первообразная функции f(x).

Основные свойства определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

• Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

• Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

• Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то

Физический смысл определенного интеграла

• При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного интеграла

Объем тела,

• полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]:

Решаем в учебнике:

• № 1021-1025(а,б)

Домашнее задание:

• Параграф 38, №1021-1025(в,г)