Первый признак равенства треугольников

Треугольники

Софронова Н.А.

Учитель математики

МОУ «Упшинская ООШ»

ТРЕУГОЛЬНИК

Δ АВС – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки

С

В

А

Точки А, В, С – вершины треугольника.

Отрезки АВ, ВС, АС – стороны треугольника

Две фигуры называются равными ,если их можно совместить наложением.

Равные

треугольники

А 1

В 1

А

В

С 1

С

В 1

В

А 1

С 1

С

А

У равных треугольников равны их элем енты

Теорема

Утверждение справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой , а сами рассуждения доказательством теоремы.

1) Условие (Дано)

Теорема

2) Заключение (Доказать)

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой , то они параллельны между собой.

Признак равенства треугольников

Признак равенства треугольников – это утверждение (теорема), с помощью которого мы сможем определить равны ли два треугольника без их наложения

Первый признак равенства треугольников

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника , соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны.

В

В 1

Дано: Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1

АВ = А 1 В 1

АС = А 1 С 1

ے А = ے А 1

Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

А

С

С 1

А 1

В 1

В

В

С

А

А

С

С 1

А 1

Так как  А =  А 1, то  АВС можно наложить на  А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АС и АВ наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С 1

Так как АС = А 1 С 1 , то сторона АС совместится со стороной А 1 С 1 , при этом совместятся точки С и С 1 .

Так как АВ = А 1 В 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 , при этом совместятся точки В и В 1 .

Итак треугольники полностью совместились , значит они равны.

Задача 1

В

С

Дано: BD∩AC = O

ОВ = ОС, АО = ОС

Доказать: ΔВОС = ΔDOA

О

D

А

Доказательство

Рассмотрим ΔВОС и ΔDOA. У них:

ОВ = ОС по условию

АО = ОС по условию

ے BOC = ے DOA (вертикальные)

Вывод: ΔВОС = ΔDOA по I признаку

~

С

Задача 2

В

Дано: АВ = AD

ے BAC = ے DAC

Доказать: ΔВAС = ΔDAC

А

D

Доказательство

Рассмотрим ΔВAС и ΔDAC. У них:

AВ = AD по условию

ے BAC = ے DAC по условию

АС – общая сторона

Вывод: ΔВАС = ΔDАС по I признаку

~

Задача 3

В

С

1

3

Дано: АD = BC

ے 1 = ے 2

Доказать: ΔABD = ΔCDB

4

2

D

А

Рассмотрим ΔABD и ΔCDB. У них:

AD = BC по условию

ے 3 = ے 4 по доказанному

BD – общая сторона

Вывод: ΔABD = ΔCDB по I признаку

С

В

~

Задача 4

Дано: АВ = CD

ے BAC = ے DCA

Доказать: ے B = ے D

D

А

Доказательство

Рассмотрим ΔВAС и ΔDCA. У них:

AВ = CD по условию

ے BAC = ے DCA по условию

АС – общая сторона

Вывод: ΔВАС = ΔDCA по I признаку

Из равенства ΔВАС = ΔDCA следует ے B = ے D

В

~

Задача 5

Дано: ВD = CD

ے 1 = ے 2

Доказать: AB = AC

1

D

А

2

Доказательство

С

Рассмотрим ΔABD и ΔACD. У них: …

Вывод: ΔABD = ΔACD по I признаку

Из равенства ΔABD = ΔACD следует AB = AC

Задача 6

Дано: AВ = CD, BО = DO, ے 1 = ے 2

Доказать: AO = CO

А

С

2

3

4

1

О

D

В

Рассмотрим ΔABO и ΔCDO. У них: …

Вывод: ΔABO = ΔCDO по I признаку

Из равенства ΔABO = ΔCDO следует AO = CO

~

А

Задача 7

В

Дано: BD = AC

ے BDC = ے ACD

Доказать: ے B = ے D

D

С

Доказательство

Рассмотрим ΔBDC и ΔACD. У них: …

Вывод: ΔBDC = ΔACD по I признаку

Из равенства ΔBDC = ΔACD следует ے B = ے D

В

Задача 9

Дано:

О – центр окружности

О

C

А

D

Доказательство

Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC. У них:

ОА=ОС=R, ОВ=ОD=R, ے AOD = ے COB (вертикальные)

Вывод: ΔAOD = ΔBOC по I признаку

Из равенства ΔAOD = ΔBOC следует ے B = ے A