МБОУ Низовская СОШ
Методическая разработка по математике
План-конспект занятия
«Логарифмические уравнения, системы уравнений и методы их решения»
Составила: Семёновых И.Н.– учитель математики.
2012-13 уч. год.
План-конспект занятия.
Тема: Логарифмические уравнения, системы уравнений и методы их решения.
Учебно-воспитательные задачи.
Дидактическая цель. Сформировать умения и навыки решения несложных логарифмических уравнений, систем уравнений.
Воспитательная цель. Развивать продуктивное мышление и навыки самоконтроля в процессе выполнения упражнений. Систематически обращать внимание н грамотность записей, на умение пользоваться математической символикой в процессе решения упражнений, усилить внимание к развитию творческого мышления и повышения интереса к предмету.
Основные знания и умения.
Знать: определение логарифмического уравнения; основные методы и приемы решения логарифмических уравнений и систем.
Уметь: решать несложные логарифмические уравнения и системы.
Обеспечение занятия.
Раздаточный материал. Карточки-задания для проверочной работы.
Т.С.О. интерактивная доска.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Формулирование умений и навыков.
Мотивация познавательной деятельности. Для активации познавательной деятельности необходимо создавать проблемные ситуации при отыскании методов решения логарифмических уравнений и систем в процессе их решения.
Последовательность изложения нового материала.
Определение логарифмического уравнения.
Способы решения логарифмических уравнений, систем.
Решение логарифмических уравнений и систем логарифмических уравнений.
План занятия.
Проверка домашнего задания.
Провести проверочную работу. Примерное содержание одного варианта:
1. Решить уравнения:
2. Решить неравенства:
Ответ:
1. а) 4; б) ; в) 4; г) 0; .
2. а) б) (4; ∞).
Повторение опорных знаний.
Повторить с учащимися определение и свойства логарифмической функции, формулы логарифмирования (потенцирования), формулы перехода от одного основания логарифма к другому, понятия и теоремы о равносильности уравнений.
Изучение нового материала.
Теоретическая часть
(весь материал идет с показом на интерактивной доске).
Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только под знаком логарифма.
Общего метода решения логарифмических уравнений, как и показательных, не существует.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются только в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
Уравнение вида
где х – неизвестное, а «а» и «b» - заданные числа, называется простейшим.
Если а 0 и а 1, то такое уравнение при любом действительном значении «b» имеет единственное решение
2. Логарифмическое уравнение
где , после потенцирования приводится к виду
Корнями уравнения будут только те корни уравнения
, при которых , т.е. корни, принадлежащие к области определения уравнения .
3. Логарифмические уравнения вида
где - некоторые заданные функции, заменой приводятся к уравнению
II. Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Решить примеры типа:
а) базовый уровень (тренировочный тест с решением)
По определению
Ответ: x=1.
Ответ: x = 2.
Ответ: x = -0,25.
+ +
-2 - x
Ответ: x = 2.
Ответ: x = -113.
Ответ: x = .
Решим это уравнение на уровне равносильных преобразований
Геометрически:
-1 0 x
+ +
-1 - x
-1 1 x
Ответ: x = 1.
Геометрически:
3 x
1 4 x
Ответ: x = 4.
б) повышенный уровень
10. Решите уравнение
Примем во внимание, что
.
Пусть . Тогда
Ответ: .
11. Решите систему уравнений:
т.к. Следовательно, т.е. система не имеет решения.
*
Следовательно, наша система равносильна совокупности:
Ответ: (2; ).
Тренировочные упражнения.
Базовый уровень.
Решите уравнения:
Решите системы логарифмических уравнений:
Повышенный уровень:
Ответы:
1. x=4;
2. x=11;
3. x=15;
4. x=216;
5. ;
6.
7. x=4;
8. x=64;
9. x=16;
10. x=27;
11. (1; 10);
12. (2; 6);
13. (16; 25), (25; 16);
14. (6; 8), (8; 6);
15. (16; 4).
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание:
1. Повторить основные определения, формулировки и формулы изучаемой темы.
2. Тренировочные упражнения №1-15.
Анализ усвоения материала:
Тренировочные упражнения №1-11 выполнило около 80% учащихся.
Тренировочные упражнения № 12-15 – около 5% учащихся.
Основные трудности при разборе решения заданий №12-15 в самом начале: в выборе пути решения (с чего начать?): какие необходимо выполнить преобразования, состоящие в замене какого-то фрагмента данного соотношения другим фрагментом на основании конкретной формулы или свойства, справедливые при имеющихся в данном соотношении ограничениях.
Поэтому учащимся должны быть предложены следующие рекомендации:
Одно ли основание во всех логарифмах?
Приведи все логарифмы к одному основанию. Лучше приводить к простому постоянному основанию.
Встречается ли в уравнении логарифм в степени, под корнем, в знаменателе дроби или произведение логарифмов?
Если есть хотя бы одно из указанных обстоятельств, раздроби входящие в уравнение логарифмы на возможно мелкие составляющие с тем, чтобы увидеть замену и перейти к уравнению без логарифмов.
Старайся собрать всё в один логарифм и прийти к соотношению простейшего вида.
Например, для уравнения вида:
Тема вызвала достаточный интерес учащихся.
Литература:
1. Сергиенко Л.Ю., Самойленко П.Н. «Планирование учебного процесса по математике» - М.: Высшая школа, 2007 г.
2. Н.В. Богомолов «Математика задачи с решениями» - М.: Дрофа, 2010 г.
3. К.И. Мазур «Решебник всех конкурсных задач по математике» под редакцией М.И. Сканави – Украинская энциклопедия 1995 г. – т. 2.
4. А.Х. Шахмейстер «Уравнения» - Спб.: «ЧеРо-на Неве», 2003 г.
5. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Пед. Университет «Первое сентября», 2010 г.
6. «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. А.Н. Колмагоров – М.: ВАКО, 2004 г.
7. Журнал (методический) «Математика» №9 октябрь 2012 г.