"Площадь треугольника"

Площадь треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Доказательство.

Пусть – треугольник.

Докажем, что .

Рассмотрим и .

,

как противолеж. стороны ,

– общая.

по третьему признаку.

Значит, .

,

.

,

.

.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

,

.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство.

– площадь .

– площадь ,

.

Докажем, что .

.

,

( )

,

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

,

.

Задача. Найдите площадь треугольника , если длина стороны см, а высота , проведённая к этой стороне, в два раза её меньше.

Решение.

,

(см).

,

(см 2 ).

Ответ: см 2 .

Задача. Вычислите площадь треугольника , если высота см, отрезок см, а .

Решение.

– прямоугольный,

так как – высота.

,

тогда

.

Значит, – равнобедренный,

см

тогда см.

(см).

см

,

(см 2 ).

Ответ: см 2 .

Задача. Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся как , а его площадь равна см 2 .

Решение.

,

.

,

,

.

,

,

(см).

Произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

(см).

Ответ: см, см.

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.