Теорема о площади треугольника

МБОУ «Ноздрачевская средняя общеобразовательная школа» Курского района курской области

Теорема о площади треугольника

Конспект урока разработала

учитель математики

Тинькова Анна Вячеславовна

Курск

2017

Девиз:

"Все в твоих руках."

Урок № 23

Тема урока: «Теорема о площади треугольника»

Класс - 9

Цель урока: продолжить подготовку обучающихся к успешному прохождению ГИА, повторить формулы площадей треугольников и четырёхугольников, совершенствовать умение выражать из формул одну величину через другие, доказать теорему о площади треугольника, формировать навыки её применения при решении задач.

Задачи:

- обучающие: доказательство теоремы о площади треугольника методом координат, формирование навыков ее использования; закрепление знания формул площади планиметрических фигур, навыков их применения, совершенствование умения обучающихся выражать из формул одну величину через другие;

развивающие: развивать грамотную математическую речь, навыки самоконтроля, организации учебного труда, логическое, математическое мышление и интуицию, познавательный интерес учащихся, умение анализировать, делать выводы, обобщать;

- воспитательные: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, формировать аккуратность при выполнении заданий, уважительное отношение к сверстникам, культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Тип урока: комбинированный урок

Структура урока:

1. Организационный этап (1 мин.)

2. Мотивация обучающихся (3 мин.)

3. Проверка домашней работы (12 мин.)

4. Актуализация знаний (10 мин.)

5. Объяснение нового материала (8 мин.)

6. Закрепление (6 мин.)

7. Подведение итогов урока, рефлексия (3 мин.)

8. Домашнее задание (2 мин.)

Оборудование:

для учителя: мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, модель четырехугольной прямой пирамиды;

для учащихся: учебные принадлежности, справочные материалы к ОГЭ, карточки с критериями оценки математического диктанта, таблицы Брадиса.

Литература:

1. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М. : Просвещение, 2015 г.

2. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике / И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова и др. М. : Издательство «Экзамен», 2018

3. Геометрия. Рабочая тетрадь. 9 класс. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. М. : Просвещение, 2018 г.

4. ОГЭ – 2018. Математика. Методические указания. ФГОС. / С.А. Шестаков, И.В. Ященко. М. : Издательство МЦНМО, 2018.

Ход урока:

1. Организационный этап

-Здравствуйте ребята. Садитесь. Откройте тетради и запишите сегодняшнее число.

1. Мотивация

Психологическая минутка

Притча. Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: "Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет". Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: "Какая у меня бабочка - живая или мертвая?" Но мудрец ответил: " Все в твоих руках."

Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках". Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

1. Проверка домашней работы

Ребята, вы перешли к изучению одной из интересных тем геометрии 9 класса - "Соотношения между сторонами и углами треугольника ". Наше познание курса геометрии можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем еще одну математическую вершину. А теперь давайте проверим, готовы ли вы к восхождению.

А) Три человека на доске оформляют решение задач, заданных на дом.

- Кто готов показать и объяснить решение № 1013 (а), 1014(а), 1015(а)?

Б) Работа с классом

Определить истинность предложенных утверждений.

( Учитель читает предложение, учащиеся в тетрадях отмечают знаком «верные предложения, знаком «-» неверные).

1) Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета к гипотенузе.

2) Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

3) Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к косинусу.

4) Синус 60 градусов равен √3/2.

5) Косинус нуля градусов равен нулю.

6) Синус α принимает значения от -2 до 1.

- Назвать номера верных утверждений.

Ответ: ( 3, 4)

- Поднимите руку, у кого получился такой результат.

В) Взаимопроверка правильности решения задач, заданных на дом.

Проявившие инициативу обучающиеся рассказывают ход решения, остальные ребята из класса по парам обменялись тетрадями и проверяют правильность решения.

Г) Дополнительные вопросы тем ученикам, которые решали на доске задачи, заданные на дом.

1) Основное тригонометрическое тождество.

Ответ: sin²a + cos²a = 1

2) Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

Ответ: Тангенсом угла а (а ≠ 90⁰) называется отношение sin a к cos a

(1)

При a = 90° tg a не определён, поскольку cos 90° = 0, и в формуле (1) знаменатель обраща­ется в нуль.

3) Что такое синус и косинус угла α ?

Ответ: Для любого угла а из промежутка 0 ≤ а ≤ 180⁰ синусом угла а называется ордината у соответствующей точки единичной полуокружности, а косинусом угла а – абсцисса х соответствующей точки единичной полуокружности.

4) Что называется синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ответ: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

5) Чему равен синус 180 градусов?

Ответ: 0

IV. Актуализация знаний

А) Работа с формулами площадей

- «Действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Площади многоугольников» - это вопрос, который многие из вас включили в свою траекторию подготовки к ГИА. Поэтому мы на предыдущих уроках повторяли формулы площадей треугольников и четырёхугольников.

Дайте словесную формулировку формулам, записанным на слайде, площадь каких фигур находят с их помощью?

При выполнении этого задания можно пользоваться справочными материалами к ОГЭ.

1) S= (ah) / 2 , 2) S=ah, 3) S=a² , 4) S=ab, 5) S=(ab) / 2, 6) S=(a² √3) / 4, 7) S= πr², 8) S=(a+b)h / 2, 9) S= √p(p-a) (p-b) (p-c)

Ответ: (1) – формула площади треугольника;

(2) – формула площади параллелограмма;

(3) – формула площади квадрата;

(4) – формула площади прямоугольника ;

(5) – формула площади прямоугольного треугольника;

(6) – формула площади равностороннего треугольника;

(7) – формула площади круга;

(8) – формула площади трапеции;

(9) – формула площади треугольника (формула Герона).

- Выразите из формул ( 1), (3), (5) переменную а, из формулы (7) - r, из формулы (8) - h.

Ответ: (1) а= (2 S) / h;

(3) а = √ S;

(5) а= (2 S) / b;

(7) r = √ (S / π);

(8) а= (2 S) / (а + b).

- Это задание № 17 из демонстрационного варианта ОГЭ.

Б) Математический диктант.

Теперь решим задачи из тренировочных тестов на нахождение площадей.

(Двое учащихся выполняют ее на доске).

№1. Найти площадь клумбы в форме прямоугольного треугольника, если его катеты равны 4 и 9.

Ответ: 18.

№2. Найти площадь треугольника, если его основание равно 12, высота 8.

Ответ: 48.

№3. Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13, один из катетов 5.

Ответ: 30.

№4. Найти площадь квадратной детской площадки, диагональ которой равна 10.

Ответ: 50.

№5. Найти площадь циферблата кремлевских курантов, если радиус часов равен 3 м.

Ответ: 9π.

№6. Найти площадь треугольника , две стороны которого равны 10 и 12, а угол между ними равен 30 градусам.

?

(Один ученик читает с места свои ответы, остальные ставят + или -, затем оценивают свою работу.

- С какой задачей вы не справились и почему?

( Не хватает формулы)!!!!!

V. Объяснение нового материала.

Итак, какова тема сегодняшнего урока?

«Теорема о площади треугольника»

- Читаем на слайде теорему о площади треугольника. Запишите ее себе в тетрадь.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

- Докажем её методом координат по готовому чертежу. Сделайте его у себя в тетради и подумайте, как можно с его помощью доказать данную теорему?

- Кто готов сделать это?

(Один ученик (с помощью учителя) строит план доказательства теоремы о площади треугольника у доски по готовому чертежу (слайд), остальные обучающиеся участвуют в доказательстве, записывают его в тетрадь).

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС ВС = а, СА = b и S — площадь этого треугольника. Докажем, что

S = (a*b*sin С) / 2

-Давай рассмотрим, как располагается треугольник на координатной плоскости?

Точка С - начало координат, точка В лежит на положитель­ной полуоси Сх, а точка А имеет положитель­ную ординату.

-Как можно найти площадь этого треугольника, известным вам способом?

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле

S = (a*h) / 2 , где h —- высота треугольника.

-Давайте посмотрим, чему же равна высота h?

h равна ординате точки А, т. е. h = b sin С.

Следова­тельно, S = (a*b*sin С) / 2. Теорема доказана.

VI. Закрепление

1) - Теперь мы можем вернуться к задаче №5 из диктанта и решить её.

Ученик решает на доске.

Ответ: 30 см² .

2) Решение задач

А) №1020 (а) из учебника

(2 человека решают на доске с последующей проверкой).

Б) Задача №1 (слайд).

Перед вами пирамида древнего египетского фараона Хеопса – единственное сохранившееся до наших дней чудо света. Ее боковая поверхность представляет собой 4 равнобедренных треугольника. Длина боковой стороны такого треугольника 230 м, угол между ними 59⁰. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

(Демонстрирую модель пирамиды, показываю ее боковую грань)

(Решают самостоятельно с последующей взаимопроверкой (слайд), используют таблицы Брадиса, справочные материалы ОГЭ)

Решение: (значение синуса 59⁰ брать с точностью до сотых)

S = 4*(230*230*sin 59⁰) / 2

S =2*52900*0,86 =90988 (м²)

VII. Подведение итогов урока, рефлексия.

А) Выставите себе баллы:

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

б) Оценки за урок получили……

VIII. Домашнее задание (слайд):

п. 96, повторить п.54-64.

Решить № 1021 (зеленый уровень – 1 способом, красный уровень -2-мя способами), 1022, 1024(а).

10