- Площади многогранников и тел вращения
- Подготовила Матвеенко Вера Николаевна
Задачи для устного решения
Задача №2.
Дано: ОА= 6,
Найти: S сектора ,
Задача №1 .
Дано: d = 4 м
Найти: S круга
О
АОВ = 60 0
A
В
Ответ: S сектора = 6 π
Ответ: 4 π м 2
Задача №3.
Дано: ABCD –прямоугольник,
CD=3, AC=5
Найти: S ABCD
C
B
A
D
Ответ: 12
называется тело,
поверхность которого
состоит из конечного
числа многоугольников,
называемых гранями.
- Стороны и вершины этих многоугольников
называются ребрами и вершинами .
Ученикам показаны различные модели многогранников.
Что такое многогранник? Попробуйте сами сформулировать определение.
Как бы вы дали определение грани, ребра, вершины, диагонали многогранника.
- Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями.
3
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований.
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Куб
Многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов
Параллелепипед
Многогранник, поверхность которого
состоит из шести параллелограммов
Прямоугольный параллелепипед
Попробуйте сформулировать определение куба, параллелепипеда, призмы и ее элементов.
Параллелепипед называется прямоугольным , если все его грани прямоугольники
Площадь призмы
S бок. + 2 S осн
S полн. =
h
b
a
Теорема: Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра основания
на высоту.
S бок. = Ph
S бок. = ah + ah +bh + bh =
= h( 2a + 2b) = Ph
7
Пирамида
Многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину
Р
Н
- Многоугольник называют основанием пирамиды
- Треугольники называют боковыми гранями
Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?
Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?
- Общую вершину называют вершиной пирамиды
- Перпендикуляр РН называют высотой
S полн. =
S бок. + S осн.
7
Правильная пирамида
Основание правильный многоугольник, высота опущена в центр основания.
Р
- Боковые грани – равные равнобедренные треугольники
- Основание высоты совпадает
с центром вписанной или
описанной окружности
- Перпендикуляр РЕ называют апофемой
Е
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения периметра
основания на апофему
S бок. =
9
Икосаэдр
Октаэдр
Тетраэдр
Как бы вы дали определение правильного многогранника?
Теорема Эйлера: число граней плюс число вершин минус число ребер равно 2.
Куб
Додекаэдр
10
Теорема Эйлера
Число граней + число вершин - число ребер = 2.
Многогранник
тетраэдр
Число граней
октаэдр
Число вершин
икосаэдр
Число ребер
додекаэдр
куб
20
8
6
12
4
6
12
20
8
4
12
6
30
30
12
Проверьте эту теорему.
Площадь поверхности цилиндра.
O
тело, ограниченное
цилиндрической поверхностью
и двумя кругами
Цилиндр –
B
образующая, высота цилиндра
AB –
O 1
радиус цилиндра
OB –
A
Площадь поверхности цилиндра
O
B 1
B
B
h
O 1
A 1
A
2 π R
A
S цилиндра = 2S осн +S бок
S цилиндра = 2 π R(R+h)
S осн = πR 2
S бок = 2πRh
Площадь поверхности конуса
S
тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.
Конус –
SA –
образующая конуса
высота конуса
SO –
радиус конуса
OA –
O
A
Площадь поверхности конуса
S
S
α
l
A
A 1
O
A
S конуса = S осн +S бок
S осн = π R 2
S конуса = π R( R+l )
S бок = π Rl
Площадь поверхности сферы
Сфера –
поверхность, состоящая из
всех точек пространства,
расположенных на данном
расстоянии от данной точки.
O
ОА –
радиус сферы
A
A
Площадь поверхности сферы
.
O
A
A
S сферы = 4 π R 2
Площадь поверхности тел вращения
S
B
B
O
A
A
O 1
O
A
A
A
S бок = 2πRh
S бок = πRl
S сферы = 4πR 2
S цилиндра = 2πR(R+h)
S конуса = πR( R+l )
Упражнение 1
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 6.
Упражнение 2
Объем куба равен 8 м 3 . Найдите площадь его поверхности.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 24 м 2 .
Упражнение 3
Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) n 2 раз.
Упражнение 6
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.
Ответ. 22.
Упражнение 7
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2, и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.
Ответ. 22.
Упражнение 8
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.
Ответ. 22.
Упражнение 9
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 .
Ответ. 38.
Упражнение 10
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площад и 4, трех квадратов площад и 1 и трех невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 2 4 .
Ответ. 24.
Упражнение 11
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 .
Ответ. 92.
Упражнение 12
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ. 48.
Упражнение 13
В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите площадь поверхности оставшейся части.
Ответ. 288 .
Упражнение 1 4
Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ:
Упражнение 1 5
Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ:
Упражнение 1 6
Чему равна площадь поверхности икосаэдра с ребром 1?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ:
Упражнение 1 7
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 300 см 2 .
Упражнение 1 8
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 132 см 2 .
Упражнение 1 9
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 248 см 2 .
Упражнение 20
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 60 см 2 .
Упражнение 2 1
Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 8 см 2 .
Упражнение 2 2
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 2 см.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 48 см 2 .
Упражнение 2 3
Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.
Упражнение 2 4
Развёртка поверхности правильной треугольной пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 80 см 2 . Найдите площадь грани пирамиды.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 20 см 2 .
Упражнение 2 5
Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: м 2 .
Упражнение 2 6
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м 2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: м 2 .
Упражнение 2 7
Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1 . Найдите площадь поверхности цилиндра.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 6.
Упражнение 2 8
Площадь боковой поверхности и объем цилиндра выражаются одним и тем же числом. Найдите диаметр основания цилиндра.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 4.
Упражнение 2 9
Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: а) Да; б) нет.
Упражнение 3 0
Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности конуса.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: м 2 .
46
Упражнение 3 1
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 60 о .
Упражнение 3 2
Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90 о . Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: дм 2 .
Упражнение 3 3
Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: а), б) Нет.
Упражнение 3 4
Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны R и r , а образующая равна b .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: