"Площади поверхностей в стереометрии"

• Площади многогранников и тел вращения
• Подготовила Матвеенко Вера Николаевна

Задачи для устного решения

Задача №2.

Дано: ОА= 6,

Найти: S сектора ,

Задача №1 .

Дано: d = 4 м

Найти: S круга

О

АОВ = 60 0

A

В

Ответ: S сектора = 6 π

Ответ: 4 π м 2

Задача №3.

Дано: ABCD –прямоугольник,

CD=3, AC=5

Найти: S ABCD

C

B

A

D

Ответ: 12

• Многогранником

называется тело,

поверхность которого

состоит из конечного

числа многоугольников,

называемых гранями.

• Стороны и вершины этих многоугольников

называются ребрами и вершинами .

Ученикам показаны различные модели многогранников.

Что такое многогранник? Попробуйте сами сформулировать определение.

Как бы вы дали определение грани, ребра, вершины, диагонали многогранника.

• Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями.

3

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.

Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Куб

Многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов

Параллелепипед

Многогранник, поверхность которого

состоит из шести параллелограммов

Прямоугольный параллелепипед

Попробуйте сформулировать определение куба, параллелепипеда, призмы и ее элементов.

Параллелепипед называется прямоугольным , если все его грани прямоугольники

Площадь призмы

S бок. + 2 S осн

S полн. =

h

b

a

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой

призмы равна произведению периметра основания

на высоту.

S бок. = Ph

S бок. = ah + ah +bh + bh =

= h( 2a + 2b) = Ph

7

Пирамида

Многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину

Р

Н

• Многоугольник называют основанием пирамиды

• Треугольники называют боковыми гранями

Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?

Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?

• Общую вершину называют вершиной пирамиды

• Перпендикуляр РН называют высотой

S полн. =

S бок. + S осн.

7

Правильная пирамида

Основание правильный многоугольник, высота опущена в центр основания.

Р

• Боковые ребра равны

• Боковые грани – равные равнобедренные треугольники

• Основание высоты совпадает

с центром вписанной или

описанной окружности

• Перпендикуляр РЕ называют апофемой

Е

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной

пирамиды равна половине произведения периметра

основания на апофему

S бок. =

9

Икосаэдр

Октаэдр

Тетраэдр

Как бы вы дали определение правильного многогранника?

Теорема Эйлера: число граней плюс число вершин минус число ребер равно 2.

Куб

Додекаэдр

10

Теорема Эйлера

Число граней + число вершин - число ребер = 2.

Многогранник

тетраэдр

Число граней

октаэдр

Число вершин

икосаэдр

Число ребер

додекаэдр

куб

20

8

6

12

4

6

12

20

8

4

12

6

30

30

12

Проверьте эту теорему.

Площадь поверхности цилиндра.

O

тело, ограниченное

цилиндрической поверхностью

и двумя кругами

Цилиндр –

B

образующая, высота цилиндра

AB –

O 1

радиус цилиндра

OB –

A

Площадь поверхности цилиндра

O

B 1

B

B

h

O 1

A 1

A

2 π R

A

S цилиндра = 2S осн +S бок

S цилиндра = 2 π R(R+h)

S осн = πR 2

S бок = 2πRh

Площадь поверхности конуса

S

тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.

Конус –

SA –

образующая конуса

высота конуса

SO –

радиус конуса

OA –

O

A

Площадь поверхности конуса

S

S

α

l

A

A 1

O

A

S конуса = S осн +S бок

S осн = π R 2

S конуса = π R( R+l )

S бок = π Rl

Площадь поверхности сферы

Сфера –

поверхность, состоящая из

всех точек пространства,

расположенных на данном

расстоянии от данной точки.

O

ОА –

радиус сферы

A

A

Площадь поверхности сферы

.

O

A

A

S сферы = 4 π R 2

Площадь поверхности тел вращения

S

B

B

O

A

A

O 1

O

A

A

A

S бок = 2πRh

S бок = πRl

S сферы = 4πR 2

S цилиндра = 2πR(R+h)

S конуса = πR( R+l )

Упражнение 1

Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 6.

Упражнение 2

Объем куба равен 8 м 3 . Найдите площадь его поверхности.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 24 м 2 .

Упражнение 3

Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) n 2 раз.

Упражнение 6

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

Упражнение 7

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2, и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

Упражнение 8

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 4, четырех прямоугольников площад и 2 и двух невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

Ответ. 22.

Упражнение 9

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрат а площад и 9 , семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьми угольников площад и которых равны 4 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38 .

Ответ. 38.

Упражнение 10

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площад и 4, трех квадратов площад и 1 и трех невыпуклых шестиугольников площад и 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 2 4 .

Ответ. 24.

Упражнение 11

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площад и 16 , прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4 , двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьми угольников площад и 10 . Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92 .

Ответ. 92.

Упражнение 12

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ. 48.

Упражнение 13

В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите площадь поверхности оставшейся части.

Ответ. 288 .

Упражнение 1 4

Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 5

Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 6

Чему равна площадь поверхности икосаэдра с ребром 1?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 7

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 300 см 2 .

Упражнение 1 8

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 132 см 2 .

Упражнение 1 9

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 248 см 2 .

Упражнение 20

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 60 см 2 .

Упражнение 2 1

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 8 см 2 .

Упражнение 2 2

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 2 см.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 48 см 2 .

Упражнение 2 3

Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.

Упражнение 2 4

Развёртка поверхности правильной треугольной пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 80 см 2 . Найдите площадь грани пирамиды.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 20 см 2 .

Упражнение 2 5

Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: м 2 .

Упражнение 2 6

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м 2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: м 2 .

Упражнение 2 7

Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1 . Найдите площадь поверхности цилиндра.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 6.

Упражнение 2 8

Площадь боковой поверхности и объем цилиндра выражаются одним и тем же числом. Найдите диаметр основания цилиндра.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 4.

Упражнение 2 9

Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) Да; б) нет.

Упражнение 3 0

Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности конуса.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: м 2 .

46

Упражнение 3 1

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 60 о .

Упражнение 3 2

Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90 о . Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: дм 2 .

Упражнение 3 3

Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а), б) Нет.

Упражнение 3 4

Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны R и r , а образующая равна b .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: