Россия, Тутаев
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 08.04.2026 11:25
Огнева Полина Алексеевна
Учитель математики
28 лет
32
267 604 
Местоположение
Подборка задач по теме: "Площади фигур"
Категория:
Математика
08.02.2026 10:59
Просмотр содержимого документа
«Подборка задач по теме: "Площади фигур"»
Площади фигур.
Справочник
1. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (квадрату отношения соответствующих линейных размеров).
2. Если у двух треугольников равны основания, то их площади относятся как высоты.
3. Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как их основания.
4.Медиана делит треугольник на два равновеликих.
5. Все формулы нахождения площади треугольника и четырехугольника.
6. Если 2 треугольника имеют равный угол, то их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол.
Задача 1. Доказать, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
Задача 2. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.
Задача 3. В трапеции ABCD боковая сторона AB равна основанию BC, угол BAD равен 60∘. Диагональ BD равна 3. Площадь треугольника ACD относится к площади треугольника ABC, как 2 : 1. Найдите все стороны трапеции ABCD.
Задача 4. Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Задача 5. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.
Задача 6. В треугольнике ABC через точку M , лежащую на стороне BC , проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC и пересекающие эти стороны в точках K и P соответственно. Докажите, что треугольники BPM и CKM равновелики.
Задача 7. Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2 : 1 (считая от точки A), а ∠BAC = 30o.
Домашнее задание
1. В треугольнике ABC на медиане BD выбрана точка P. Докажите, что треугольники ABP и CBP равновелики.
2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка L является серединой стороны BC, точка M является серединой AD, точка N является серединой стороны AB. Найдите отношение площади треугольника LMN к площади четырёхугольника ABCD.
3. Точки E, F, M расположены соответственно на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC. Отрезок AE составляет одну треть стороны AB, отрезок BF составляет одну шестую стороны BC, отрезок AM составляет две пятых стороны AC. Найдите отношение площади треугольника EFM к площади треугольника ABC.
4. Точка, расположенная внутри правильного треугольника, удалена от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь треугольника.
Задача 1. Доказать, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
Задача 2.Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.
Решение. Пусть стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 27 и 29, а его медиана BM равна 26. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что
BC = 29, BD = 2BM = 52, DC = AB = 27.
По формуле Герона
Следовательно,
S△ABC = S△BCD = 270.
Задача 3. В трапеции ABCD боковая сторона AB равна основанию BC, угол BAD равен 60∘. Диагональ BD равна 3. Площадь треугольника ACD относится к площади треугольника ABC, как 2 : 1. Найдите все стороны трапеции ABCD.
Свойство: Площади треугольников с равными высотами относятся как основания
Решение. Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Тогда ABCK — ромб.
Поскольку
то AD = 2BC = 2AK. Следовательно, KBCD — также ромб с острым углом 60∘.
Если M — точка пересечения прямых CK и BD, то BM — высота равностороннего треугольника KBC. Поэтому
Следовательно,
Задача 4. Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Решение. Первый способ. Пусть d1 и d2 — диагонали данного четырёхугольника, α — угол между ними. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллелограмм со сторонами
Задача 5. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.
Решение. Пусть K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD данного выпуклого четырёхугольника ABCD. Поскольку KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC, то KL ‖ MN и KL = MN, значит, четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а так как его диагонали KM и LN равны, то KLMN — прямоугольник. Стороны прямоугольника KLMN параллельны диагоналям AC и BD четырёхугольника ABCD, поэтому диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Следовательно,
Задача 6. В треугольнике ABC через точку M , лежащую на стороне BC , проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC и пересекающие эти стороны в точках K и P соответсвенно. Докажите, что треугольники BPM и CKM равновелики.
Задача 7. Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2 : 1 (считая от точки A), а ∠BAC = 30∘.
Решение. Поскольку точки B и D лежат на окружности с диаметром AC, то ∠ABC = ∠ADC = 90∘. Обозначим через R радиус окружности. Пусть N — точка пересечения диагоналей AC и BD, M и K — проекции вершин соответственно B и D на AC. Тогда
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
