Подборка заданий № 11. ЕГЭ

Задание 11 из ЕГЭ по математике

Задача 1.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение

Площадь поверхности заданного многогранника складывается из четырех площадей квадратов со стороной 1, двух прямоугольников со сторонами 1 и 2 и двух граней (передней и задней), площади которых в свою очередь складываются из трех единичных квадратов каждая. Всего 4 + 4 + 6 = 14.

Ответ: 14

Задача 2.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 6, 2, 5 и 3, 1, 2:

V = V1 – V2 = 54

Ответ: 54.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)

Задача 3.

Решение

Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов с ребрами 5, 4, 4 и 2, 2, 2:

Ответ: 72

Задача 4.

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Решение

Изначально у треугольной призмы 5 граней. Когда от призмы отпилили все вершины количество граней стало равно 5 + 6  =  11.

Ответ: 11.

Задача 5.

К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Решение

У четырехугольной призмы 12 ребер, у четырехугольной пирамиды  — 8 ребер. При склеивании 4 ребра станут общими, то есть всего ребер у получившегося многогранника    

Ответ: 16.

Задача 6.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение

Объем аквариума равен: см 3

или литров.

Ответ: 96.

Задача 7.

Плоскость, проходящая через три точки A , B и C , разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого больше граней?

Решение

В сечении получается четырёхугольник. У одной отсечённой фигуры 15 рёбер и 7 граней, у второй  — 9 рёбер и 5 граней. Следовательно, у искомой фигуры 7 граней.

Ответ: 7.

Задача 8.

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Решение

Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле  где a , b и c   — длины сторон призмы. Поскольку первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой, отношение объёмов равно

Таким образом, объём первой коробки в 6 раз меньше объёма второй.

Ответ: 6.

Задача 9.

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал равен 5 · 2,6  =  13 литров, поэтом объём детали равен 13 − 5 = 8 л = 8000 см 3 .

Ответ: 8000.

Задача 10.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Решение

Меньший конус подобен большему с коэффициентом

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 27 раз больше объема меньшего конуса, он равен 270 мл. Следовательно, необходимо долить 270 − 10 = 260 мл жидкости.

Ответ: 260.

Спасибо за внимание!